Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM, lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P,R,Q. Kí hiệu SABC là diện tích tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng: MA.BC + MB.CA + MC.AB \(\ge\)4SABC
b. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất.
a,
Kẻ BE,CF vuông góc với AM.
Ta có:
MA.BC = MA.(BP+CP) ≥ MA.(BE+CF) = 2 SABM + 2 SCAM
Tuong tu:
MB.CA ≥ 2SBCM + 2 SABM
MC.AB ≥ 2SCAM + 2 SBCM
Suy ra:
MA.BC + MB.CA + MC.AB ≥ 2 ( 2 SABM + 2SBCM + 2SCAM) = 4SABC
dpcm.
Dấu = xảy ra khi M là trực tâm.