Cho 3 số thực a,b,c thỏa: \(\frac{a}{2016}=\frac{b}{2017}=\frac{c}{2018}\)
CMR: \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2.\)
__Tài liệu chia sẻ vs các bạn, mình đã làm được__
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 11 2019
Đặt \(P=\frac{a^4}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\frac{b^4}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}+\frac{c^4}{\left(c+2\right)\left(a+2\right)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^4}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}\ge4\sqrt[4]{\frac{a^2}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}.\frac{a+2}{27}.\frac{b+2}{27}.\frac{1}{9}}=\frac{4a}{9}\)(1)
\(\frac{b^4}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}+\frac{b+2}{27}+\frac{c+2}{27}+\frac{1}{9}\ge4\sqrt[4]{\frac{b^2}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}.\frac{b+2}{27}.\frac{c+2}{27}.\frac{1}{9}}=\frac{4b}{9}\)(2)
\(\frac{c^4}{\left(c+2\right)\left(a+2\right)}+\frac{c+2}{27}+\frac{a+2}{27}+\frac{1}{9}\ge4\sqrt[4]{\frac{c^2}{\left(c+2\right)\left(a+2\right)}.\frac{c+2}{27}.\frac{a+2}{27}.\frac{1}{9}}=\frac{4c}{9}\)(3)
Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\)ta được:
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)+12}{27}+\frac{3}{9}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{9}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{2}{3}+\frac{3}{9}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
V
7 tháng 11 2017
Áp dụng Holder:
\(24VT=\left(1+1+1+1+1+1\right)\left(a^3+a^3+c^3+c^3+b^3+b^3\right)\left(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{c^3}\right)\ge\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)^3\)
Mà \(\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)^2\ge36\)( AM-GM)
\(24VT\ge36\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)\Leftrightarrow VT\ge VF\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c .
P/s: BĐT holder: \(\left(a_1^n+a^n_2+...a_3^n\right)\left(b_1^n+b_2^n+...b_n^n\right)...\left(z_1^n+z_2^n+...z_n^n\right)\ge\left(a_1.b_1..z_1+a_2.b_2..z_2+...+a_n.b_n.z_n\right)^n\)
11 tháng 1 2015
Bai 1: Ap dung BDT Bunhiacopxki ta co:
\(ax+by+cz+2\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+xz)} \)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)} + \sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}+\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}\)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}\)
\(= (a+b+c)(x+y+z)\)
=> \(Q.E.D\)
11 tháng 1 2015
Tiep bai 4:Ta co:
BDT <=> \((2+y^2z)(2+z^2x)(2+x^2y)≥(2+x)(2+y)(2+z)\)
Sau khi khai trien con: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)+x^2z+z^2y+y^2x≥xy+yz+zx+2x+2y+2z \)
Ap dung BDT Cosi ta co:
\(z^2x+x ≥ 2zx \) <=> \(z^2x≥2zx-x\)
Lam tuong tu ta co: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)≥4xy+4yz+4zx-2x-2y-2z \)(1)
\(x^2z+{1\over z}≥2x \) <=> \(x^2z≥2x-xy \) (do xyz=1)
Lam tuong tu ta co: \(x^2z+z^2y+y^2x≥ 2y+2z+2x-xy-yz-zx\)(2)
Cong (1) voi (2) ta co: VT\(≥ 3(xy+yz+zx)\)(*)
Voi cach lam tuong tu ta cung duoc: VT\(≥ 3(x+y+z) \)(**)
Tu (*) va (**) suy ra : \(3 \)VT \(≥ 6(x+y+z)+3(xy+yz+zx) \)
<=> VT \(≥ 2(x+y+z)+xy+yz+zx\)
=> \(Q.E.D\)
16 tháng 4 2021
\(K=\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\left(a,b,c>0\right)\).
Ta có:
\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{\left(a^2+c^2\right)-c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{a^2+c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\)\(=\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\).
Vì \(a,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a^2+c^2\ge2ac\).
\(\Leftrightarrow c\left(a^2+c^2\right)\ge2ac^2\).
\(\Rightarrow\frac{1}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{1}{2ac^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{c^2}{2ac^2}=\frac{1}{2a}\).
\(\Leftrightarrow-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge-\frac{1}{2a}\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\left(1\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\) .
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}\left(a,b>0\right)\left(2\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\)
Chứng minh tương tự, ta dược:
\(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\left(b,c>0\right)\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\)\(\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\).
\(\Leftrightarrow K\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).
\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).
\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\).
Mà \(ab+bc+ca=3abc\)(theo đề bài).
Do đó \(K\ge\frac{1}{2}.\frac{3abc}{abc}\).
\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3abc}{2abc}\).
\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3}{2}\).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\ab+bc+ca=3abc\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\).
Vậy \(minK=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\).
HD
10 tháng 3 2020
bài này dễ vào TH 0,5 điểm trong bài thi
nghe có vẻ khó nhưng chú ý 1 chút là có thể làm được
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^{2016}}{c^{2016}}=\frac{b^{2016}}{d^{2016}}\)\(\Rightarrow\left(\frac{a^{2016}}{c^{2016}}\right)^{2017}=\left(\frac{b^{2016}}{d^{2016}}\right)^{2017}\)
áp dụng t/c dãy t/s = nhau
\(\Rightarrow\left(\frac{a^{2016}}{c^{2016}}\right)^{2017}=\left(\frac{b^{2016}}{d^{2016}}\right)^{2017}=\)\(\frac{\left(a^{2016}+b^{2016}\right)^{2017}}{\left(c^{2016}+d^{2016}\right)^{2017}}\)
biến đổi tiếp cái kia tương tự rồi suy ra chúng = nhau nhé
TL
10 tháng 4 2022
casi phần áp dụng tc thì phải bằng (a^2016)^2017+(b^2016)^2017 chớ nhỉ bạn hỏi đáp
21 tháng 10 2018
Đặt \(\frac{a}{2016}=\frac{b}{2017}=\frac{c}{2018}=t\)
\(\Rightarrow a=2016t,b=2017t,c=2018t\)
Ta có: \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left(2016t-2017t\right)\left(2017t-2018t\right)=4.\left(-t\right).\left(-t\right)=4t^2\)
\(\left(c-a\right)^2=\left(2018t-2016t\right)^2=\left(2t\right)^2=4t^2\)
Vậy \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)
21 tháng 10 2018
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a/2016 = b/2017 = c/2018 = (a-b) / (2016-2017) = (b-c) / (2017-2018) = (c-a) / (2018-1026)
= (a-b) / (-1) = (b-c) / ( -1) = (c-a) / 2
Vì (a-b) / (-1) = (b-c) / ( -1) = (c-a) / 2 nên (a-b) / (-1) . (b-c) / (-1) =[ (c-a) / 2 ]2
=> (a-b)(b-c) / (-1).(-1) = (c-a)2 / 22
=> (a-b)(b-c).1= (c-a)2 / 4
=> (a-b)(b-c) =(c-a)2 / 4
=> 4(a-b)(b-c)= (c-a)2
bạn giải thử để tham khảo đi
Nè Phong Đãng - Trang của Phong Đãng - Học toán với OnlineMath:
Đặt \(\frac{a}{2016}=\frac{b}{2017}=\frac{c}{2018}=k\left(k\in R\right)\)
\(\Rightarrow a=2016k,b=2017k,c=2018k\)
Thay vào biểu thức: \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)\), có:
\(=4\left(2016k-2017k\right)\left(2017k-2018k\right)\)
\(=4\cdot\left(-1\right)\cdot k\cdot\left(-1\right)\cdot k=4k^2\) (1)
Làm tương tự như vậy: \(\left(c-a\right)^2=\left(2018k-2016k\right)^2=\left(2k\right)^2=4k^2\)(2)
Từ (1)(2) suy ra: \(4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)