CHỨNG MINH:
1^3+2^3+3^3+....+503^3 không chia hết cho 1275
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
3
30 tháng 11 2017
Ta có: \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow1^3-1+2^3-2+...+50^3-50\)
\(=0+1.2.3+2.3.4+...+49.50.51\)
\(=\frac{49.50.51.52}{4}=1624350\)
Ta lại có:
\(1+2+3+...+50=\frac{50.51}{2}=1275\)
\(\Rightarrow1^3+2^3+...+50^3=1624350+1275=1625625=1275^2\)
Vậy nó chia hết cho 1275
DL
30 tháng 11 2017
Nhận xét : \(k^3=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2-\left[\frac{k\left(k-1\right)}{2}\right]^2\)
Tương tự,thế vào ta có :
\(1^3+2^3+...+50^3=-\left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^2+\left(\frac{1\cdot0}{2}\right)^2-\left(\frac{2\cdot3}{2}\right)^2+\left(\frac{2\cdot1}{2}\right)^2-...\)
\(-\left(\frac{50\cdot51}{2}\right)^2+\left(\frac{50\cdot49}{2}\right)^2\)
\(=\left[\frac{50\left(50-1\right)}{2}\right]^2\)
\(=\left(1+2+3+...+50\right)^2⋮\left(1+2+3+..+50\right)\)
Mà \(1+2+3+...+50=1275\)
=> Ta có đpcm
HV
6
4 tháng 1 2018
dốt con khỉ
bà dốt chứ có giỏi con giải bài này . Bị đặc ko biết làm mà cứ hênh hoang như mình học giỏi lắm vậy
KT
31 tháng 7 2018
\(B=1+2+2^2+2^3+...+2^{14}+2^{15}\)
\(=1+\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+....+\left(2^{13}+2^{14}+2^{15}\right)\)
\(=1+2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{13}\left(1+2+2^2\right)\)
\(=1+\left(1+2+2^2\right)\left(2+2^4+....+2^{13}\right)\)
\(=1+7\left(2+2^4+...+2^{13}\right)\)
=> B không chia hết cho 7
\(Q=1+3+3^2+3^3+...+3^{19}+3^{20}\)
\(=1+\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{19}+3^{20}\right)\)
\(=1+3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{19}\left(1+3\right)\)
\(=1+\left(1+3\right)\left(3+3^3+...+3^{19}\right)\)
\(=1+4\left(3+3^3+...+3^{19}\right)\)
=> Q không chia hết cho 4
Ta chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)
Với n = 1, đẳng thức trên là đúng.
Giả sử đẳng thức trên là đúng với n = k, tức là ta có:
\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\) (*)
Ta có \(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Vậy nên \(VT=\left(1+2+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{k^4+6k^3+13k^2+12k+4}{4}=\frac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)
\(=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2=VP\)
Vậy ta có đẳng thức \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)
Từ đó \(1^3+2^3+...+503^3=\left(1+2+...+503\right)^2\)
\(=\left[\frac{\left(1+503\right).503}{2}\right]^2=126756^2\)
Ta thấy ngay nó không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 1275.