Chứng minh rằng :
\(21\left(a+\frac{1}{b}\right)+3\left(b+\frac{1}{a}\right)\ge80\) \(\forall x\ge3,b\ge3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của tran duc huy - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
6 tháng 12 2019
\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\ge\frac{3}{4}a\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}a-\frac{1}{8}b-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\)
\(\Sigma\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\) :)
22 tháng 1 2020
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta có:
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3\left(\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}\right)^4\)
Ta chứng minh: \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^3\left(1\right)\)
Theo BĐT Cô - si ta có:
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\)
\(\ge1+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3}{\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}+\frac{1}{abc}=\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\ge\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^3\)
(Vì \(abc+2=abc+1+1\ge3\sqrt[3]{abc}\))
Vậy \(\left(1\right)\) được chứng minh \(\Rightarrow BĐT\) đúng \(\forall a,b,c>0\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
22 tháng 1 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\left[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\right]^4}\)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}}\right)^4\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\\\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\ge1+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(+3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}+\frac{1}{abc}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\ge\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\)
\(\Rightarrow3\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}}\right)^4\)
\(\ge3\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\)
\(\left(2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\frac{abc+1+1}{3}=\frac{abc+2}{3}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge1+\frac{3}{abc+2}\)
\(\Rightarrow3\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\ge3\left(1+\frac{3}{abc+2}\right)^4\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(1+\frac{3}{abc+2}\right)^4\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^4\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 3 2020
\(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\frac{a}{b}>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b>0\Rightarrow a>b\Rightarrow a-b>0\)
\(\Rightarrow4.b\left(a-b\right)\le\left(b+a-b\right)^2=a^2\)
\(\Rightarrow P=\frac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge\frac{2a^3+1}{a^2}=2a+\frac{1}{a^2}=a+a+\frac{1}{a^2}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(21b+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}+\frac{a}{3}+\frac{62a}{3}\ge2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{a}{3}}+\frac{62.3}{3}=2+62=64\left(a\ge3\right)\left(1\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{a}{3}\)và \(a=3\Leftrightarrow a=3\)
\(\frac{21}{b}+3b=\frac{21}{b}+\frac{7b}{3}+\frac{2b}{3}\ge2\sqrt{\frac{21}{b}.\frac{7b}{3}}+\frac{2.3}{3}=14+2=16\left(b\ge3\right)\left(2\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{21}{b}=\frac{7b}{3}\)và \(b=3\Leftrightarrow b=3\)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=3\)