a+b+c =abc
Tìm min 1/a + 1/b +1/c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2023
Đặt \(x=\sqrt{\dfrac{a}{bc}}\) ; \(y=\sqrt{\dfrac{b}{ca}}\) ; \(z=\sqrt{\dfrac{c}{ab}}\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{1}{yz}\) ; \(b=\dfrac{1}{zx}\) ; \(c=\dfrac{1}{xy}\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Khi đó, tồn tại một tam giác ABC sao cho:
\(x=tan\dfrac{A}{2}\) ; \(y=tan\dfrac{B}{2}\) ; \(z=tan\dfrac{C}{2}\)
Thay vào bài toán:
\(A=\dfrac{x^2}{1+x^2}+\sqrt{3}\left(\dfrac{y^2}{1+y^2}+\dfrac{z^2}{1+z^2}\right)\)
\(=\dfrac{tan^2\dfrac{A}{2}}{1+tan^2\dfrac{A}{2}}+\sqrt{3}\left(\dfrac{tan^2\dfrac{B}{2}}{1+tan^2\dfrac{B}{2}}+\dfrac{tan^2\dfrac{C}{2}}{1+tan^2\dfrac{C}{2}}\right)\)
\(=sin^2\dfrac{A}{2}+\sqrt{3}\left(sin^2\dfrac{B}{2}+sin^2\dfrac{C}{2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosA+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(2-cosB-cosC\right)\)
\(=\dfrac{1+2\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\left(cosA+\sqrt{3}cosB+\sqrt{3}cosC\right)\)
Xét \(B=cosA+\sqrt{3}\left(cosB+cosC\right)=cosA+2\sqrt{3}cos\dfrac{B+C}{2}cos\dfrac{B-C}{2}\)
\(\le cosA+2\sqrt{3}cos\dfrac{B+C}{2}=-2sin^2\dfrac{A}{2}+2\sqrt{3}sin\dfrac{A}{2}+1\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-2t^2+2\sqrt{3}sint+1\) với \(t\in\left(0;1\right)\)
\(f'\left(t\right)=-4t+2\sqrt{3}=0\Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{5}{2}\) ; \(f\left(1\right)=2\sqrt{3}-1\)
\(\Rightarrow B_{max}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1+2\sqrt{3}}{2}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{4\sqrt{3}-3}{4}\)
ML
9 tháng 8 2015
\(a\text{) }\)Áp dụng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (a, b > 0). Dấu "=" xảy ra khi a = b.
\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=6\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{27}{8}\left(a+b\right)+\frac{27}{8}\left(a+b\right)\right]-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)
\(\ge6.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^2}.\frac{27}{8}\left(a+b\right).\frac{27}{8}\left(a+b\right)}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)
\(=\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{bc}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(b+c\right)\)
\(\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{ca}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng theo vế ta được
\(A\ge3.\frac{81}{2}-81\left(a+b+c\right)=3.\frac{81}{2}-81=\frac{81}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{81}{2}.\)
24 tháng 11 2021
\(1,\text{Áp dụng Mincopxki: }\\ Q\ge\sqrt{\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2}\ge\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b\)
24 tháng 11 2021
\(2,\text{Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: }\\ P\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{1}=9\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
TP
1
ML
9 tháng 8 2015
\(P=a+\frac{1}{9a}+b+\frac{1}{9b}+c+\frac{1}{9c}+\frac{17}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge2\sqrt{a.\frac{1}{9a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{9b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{9c}}+\frac{17}{9}.\frac{9}{a+b+c}\)
\(\ge\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{17}{1}\)
HL
1
21 tháng 3 2018
ta có 1/a +1/b =1/c =>bc+ac=ab
quy đồng Q và thu gọn ta đc 2017(c/a-c +c/b-c)
áp dụng bdt Cô - si ta đc c/a-c + b /a-c >=
suy ra 2017*(c/a-c +c/b-c)>=2017*2=4034
minQ=4034 dấu bdt xảy ra khi a=b=2, c=1
ta co
( 1/a+1/B+1/c)^2
= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2/ABC
= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2/ a+b+c