cho a+b=1. Tìm GTNN của \(A=a\left(a^2+26\right)+b\left(b^2-a\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 12 2021
\(P=2+\dfrac{2}{b}+a+\dfrac{a}{b}+2+\dfrac{2}{a}+b+\dfrac{b}{a}=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)+\left(b+\dfrac{1}{2b}\right)+\left(\dfrac{3}{2a}+\dfrac{3}{2b}\right)+4\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{a.\dfrac{1}{2a}}+2\sqrt{b.\dfrac{1}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{3}{2a}.\dfrac{3}{2b}}+4=6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\)
Ta lại có: \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2.b^2}=2ab\left(BĐT.Cauchy\right)\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge4ab\Rightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\ge6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=6+5\sqrt{2}\)
\(minP=6+5\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
DP
27 tháng 5 2022
áp dụng bất đẳng thức: 1+b2>=2b. tương tự.....
ad bđt cauchy: a/b+b/c+c/a>=3∛a/b.b/c.c/a=3
P>=\(\dfrac{2ab}{bc}\)+\(\dfrac{2bc}{ca}\)+\(\dfrac{2ca}{ab}\) =2(\(\dfrac{a}{b}\)+\(\dfrac{b}{c}\)+ \(\dfrac{c}{a}\))>=2.3=6
Pmin khi a=b=c=1
13 tháng 6 2022
Áp dụng bđt : \(1+b^2>=2b\)
bđt cauchy : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}>3\sqrt[3]{}\) a\b . b\c . c\a = 3
7 tháng 12 2017
bài 1
ÁP dụng AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)
công tất cả lại ta có:
\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)
Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":
\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)
Vậy Min là \(1\)
dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
3 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT AM - GM
\(A=\left(a+1\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)+\left(b+1\right)\left(1+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+2\)
\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\left(a+\frac{1}{2a}\right)+\left(b+\frac{1}{2b}\right)+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+2\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{a.\frac{1}{2a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{2b}}+2\sqrt{\frac{1}{2a}.\frac{1}{2b}}+2\)
\(=4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}\)
\(=4+3\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
N
3 tháng 10 2019
Ta co:\(1=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
Ta lai co:
\(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b+2\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{1}{a}+2a\right)+\left(\frac{1}{b}+2b\right)-\left(a+b\right)+2\)
\(\ge2+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}+2=4+3\sqrt{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vay \(A_{min}=4+3\sqrt{2}\)khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
14 tháng 1 2021
Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số a2, b2, c2 tồn tại 2 số cùng phía với 1.
Giả sử hai số đó là a2 và b2.
Ta có \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\ge3\left(a^2+b^2+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a^2+b^2+1\right)\left(1+1+c^2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\) (Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz).
Mà a + b + c = 3 nên \(S\ge27\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy Min S = 27 khi a = b = c = 1.
8 tháng 1 2021
\(\left(3a+2b\right)\left(3a+2c\right)=16bc\Leftrightarrow\dfrac{3a+2b}{b}.\dfrac{3a+2c}{c}=16\Leftrightarrow\left(3x+2\right)\left(3y+2\right)=16\) với \(x=\dfrac{a}{b};y=\dfrac{a}{c}\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: \(16=\left(3x+2\right)\left(3y+2\right)\le\dfrac{\left(3x+3y+4\right)^2}{4}\Leftrightarrow x+y\le\dfrac{4}{3}\);
\(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\dfrac{4}{9}\).
Ta có: \(P=\dfrac{a^2+2a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)}=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{a}+2=\dfrac{xy}{x+y}+\dfrac{x+y}{xy}=\left(\dfrac{xy}{x+y}+\dfrac{x+y}{9xy}\right)+\dfrac{8\left(x+y\right)}{9xy}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{x+y}.\dfrac{x+y}{9xy}}+\dfrac{8\left(x+y\right)}{\dfrac{9\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{32}{9\left(x+y\right)}\ge\dfrac{2}{3}+\dfrac{32}{12}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}\).
Đẳng thức xảy ra khi \(3a=2b=2c>0\).
Vậy...