a,b,c>0 .CMR: abc/(a+b)(b+c)(c+a) <= (a+b)(a+b+2c)/(3a+3b+2c)2 <= 1/8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LN
0
16 tháng 9 2017
Ta có :
\(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc\)
\(=\left(a^3+b^3\right)+\left(a^2c+b^2c-abc\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c\left(a^2+b^2-ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(=0.\left(a^2-ab+b^2\right)=0\left(đ\text{pcm}\right)\)
LV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 6 2021
Từ giả thiết: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\\ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\end{matrix}\right.\) (1)
Ta có:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge3\left(a+b+c\right)-1\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(3\left(a+b+c\right)-1\ge2\left(1+a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3\) (hiển nhiên đúng theo (1))
HV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2021
Do vai trò của 3 biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(\Rightarrow\) Theo BĐT Chebyshev:
\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\) (1)
Bunhiacopxki:
\(\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\le2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\le6\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge6\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge6\)
Hiển nhiên đúng do: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc=6\)
NN
0
NT
0
DQ
30 tháng 5 2017
sửa đề: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3-3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3c\left(a+b\right)-3ab\right]=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a-c\right)^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)(đpcm)
TP
0
Chứng minh: \(\frac{\left(a+b\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(3a+3b+2c\right)^2}\le\frac{1}{8}\)
Ta có:
\(\left(a+b\right)\left(a+b+2c\right)=\frac{1}{2}\left(2a+2b\right)\left(a+b+2c\right)\)
\(\le\frac{1}{2}.\left(\frac{2a+2b+a+b+2c}{2}\right)^2=\frac{1}{8}.\left(3a+3b+2c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(3a+3b+2c\right)^2}\le\frac{1}{8}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{abc}{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}}=\frac{1}{8}\)
Phần còn lại dễ nhé :3