Cm
(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3*(x+y)*(y+z)*(x+z)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VA
0
HT
0
TG
3
3 tháng 10 2017
Đặt A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
Xét (x+y+z)3=[(x+y)+z]3=(x+y)3+z3+3z(x+y)(x+y+z)=x3+y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z)
=(x3+y3+z3)+3(x+y)(xy+xz+yz+z2)
=(x3+y3+z3)+3(x+y)[(xy+yz)+(xz+z2)]
=(x3+y3+z3)+3(x+y)[y(x+z)+z(x+z)]
=(x3+y3+z3)+3(x+y)(x+z)(y+z)
Từ đó suy ra A=(x3+y3+z3)+3(x+y)(x+z)(y+z)-x3-y3-z3=3(x+y)(x+z)(y+z
19 tháng 12 2017
Áp dụng tính chất :
Nếu a+b+c = 0 hoặc a =b=c thì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
Sử dụng tính chất trên ta được :
( x - y )^3 + ( y -z )^3 + ( z - x )^3 = 3( x -y )(y -z )( z -x )
♥,Nếu x ,y, z có cùng số dư khi chia cho 3 =>
x-y , y- z , z - x :/ 3 ( :/ là kí hiệu chia hết )
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
♥,G/S trong ba số x,y,z ko có số nào có cùng số dư khi chia hết cho 3
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) ko chia hết cho 3
Từ G/S => x,y,z chia 3 sẽ có 3 số dư là 0,1,2
=> x+y +z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 ( Vô lý )
♥,Vậy trong ba số x,y,z có hai số có cùng số dư khi chia cho 3 . G/S đó là x,y
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 => x +y +z :/3
1,Nếu x,y :/ 3 => z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
2,Nếu x,y chia 3 dư 1 , x+y+z :/3 => z chia 3 dư 1 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
3,Nếu x,y chia 3 dư 2 , x+y + z :/3 => z chia 3 dư 2 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
Tóm lại 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81 hay M=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 :/ 81
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
TQ
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 6 2018
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} -x+y+z=a\\ x-y+z=b\\ x+y-z=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z=\frac{a+b}{2}\\ x=\frac{b+c}{2}\\ y=\frac{c+a}{2}\\ \end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\((x+y+z)^3=(\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2})^3=(a+b+c)^3\) (1)
Và:
\((-x+y+z)^3+(x-y+z)^3+(x+y-z)^3+24xyz\)
\(=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(=(a+b+c)^3\) theo hằng đẳng thức đáng nhớ (2)
Từ (1);(2) suy ra đpcm.
Xét hiệu
(x+y+z)3-x3-y3-z3=[(x+y)+z]3-x3-y3-z3
=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3-x3-y3-z3
=(x+y)3+3z(x+y)(x+y+z)+z3-x3-y3-z3
=x3+3x2y+3xy2+y3+3z(x+y)(x+y+z)+z3-x3-y3-z3
=(x3-x3)+(y3-y3)+(z3-z3)+3xy(x+y)+3z(x+y)(x+y+z)
=3(x+y)(xy+yz+xz+z2)
=3(x+y)[y(x+z)+z(x+z)]
=3(x+y)(x+z)(y+z
=>(x+y+z)3-x3-y3-z3=3(x+y)(y+z)(z+x)
=>(x+y+z)3=3(x+y)(y+z)(z+x)+x3+y3+z3
=> DPCM
ta có: \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)\(=\left[\left(x+y+z\right)^3-x^3\right]-\left(y^3+z^3\right)\)
\(=\left(x+y+z-x\right)\left[\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)x+x^2\right]-\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)\)
\(=\left(y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz+x^2+xy+xz+x^2-y^2+yz-z^2\right)\)
\(=\left(y+z\right)\left(3x^2+3xy+3xz+3yz\right)\)
\(=\left(y+z\right)\left[3x\left(x+y\right)+3z\left(x+y\right)\right]\)
\(=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(3x+3z\right)\)
\(=3\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)(đpcm)