Cho x,y >0 và \(x^3+y^3=x-y\).Chứng minh: \(x^2+y^2\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 9 2017
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{x^3}{y^2}+x\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y^2}.x}=\frac{2x^2}{y}\)
\(\frac{y^3}{z^2}+y\ge2\sqrt{\frac{y^3}{z^2}.y}=\frac{2y^2}{z}\)
\(\frac{z^3}{x^2}+z\ge2\sqrt{\frac{z^3}{x^2}.z}=\frac{2z^2}{x}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}+x+y+z\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{x^2}{z}\right)\)
Ta lại có : \(\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{x^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)(bunhiacopxki)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{x^2}{z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}+x+y+z\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{x^2}{z}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}\ge x+y+z\ge1\)(đpcm)
HH
0
1 tháng 8 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel và \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) có:
\(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{xz}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+xz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge1\)
Dấu " = " khi x = y = z = \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy...
1 tháng 8 2017
Cách khác nhé!/-/
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(\left(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\right)\left(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^3\)
Do đó \(\dfrac{x^3}{y}+\dfrac{y^3}{z}+\dfrac{z^3}{x}\ge x^2+y^2+z^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\right)[(x^2+2yz)+(y^2+2xz)+(z^2+2xy)]\geq (1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\geq \frac{9}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=\frac{9}{3^2}=1\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
26 tháng 10 2020
Đặt \(A=\frac{x}{y^4+2}+\frac{y}{z^42}+\frac{z}{x^4+2}\ge1\)
\(A=\frac{y^4}{x+2}+\frac{z^4}{y+2}+\frac{x^4}{z+2}\ge1\)
Còn lại thì bạn tính tổng nha! Lớn hơn hoặc bằng 1 là được :))
4 tháng 6 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{9}=1.\)(đpcm)
4 tháng 6 2019
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
( áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\))
2 tháng 1 2021
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)