Cho a,b,c thuộc R thỏa mãn \(a+b+c\le8\)
Tìm giá trị lớn nhất của \(P=4\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 9 2021
Ta có: \(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
\(\Rightarrow4a+4b+4c+4\sqrt{abc}=16\)
\(\Rightarrow4a+4\sqrt{abc}=16-4b-4c\)
\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(16-4b-4c+bc\right)}=\sqrt{a\left(4a+4\sqrt{abc}+bc\right)}\)
\(=\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}=\left|2a+\sqrt{abc}\right|=2a+\sqrt{abc}\)
Tương tự:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b\left(4-a\right)\left(4-c\right)}=2b+\sqrt{abc}\\\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}=2c+\sqrt{abc}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}=2a+2b+2c+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=8\)
23 tháng 9 2021
Ta có \(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(a+c+\sqrt{abc}\right)\left(4-c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^2+ac+a\sqrt{abc}\right)\left(4-c\right)}\\ =\sqrt{4a^2+ac\left(4-\sqrt{abc}-a-c\right)+4a\sqrt{abc}}\\ =\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}\\ =2a+\sqrt{abc}\left(a,b,c>0\right)\)
Cmtt \(\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}=2b+\sqrt{abc};\sqrt{c\left(4-b\right)\left(4-a\right)}=2c+\sqrt{abc}\)
\(\Rightarrow A=2\left(a+b+c\right)+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c\right)+2\sqrt{abc}\\ A=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=2\cdot4=8\)
8 tháng 4 2016
Ta có \(x^3+y^3\ge\frac{1}{4}\left(x+y\right)^3;xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) với mọi \(x,y>0\)
Kết hợp với giả thiết suy ra :
\(\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)^3\le\left(a+b\right)^3+c^3\le4\left(a^3+b^3\right)+c^3\le2\left(a+b+c\right)\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}-2\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge4\)
Khi đó sử dựng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{2a^2}{3a^2+b^2+2a\left(c+2\right)}=\frac{a}{a+c+2+\left(\frac{b^2}{2a}+\frac{a}{2}\right)}\le\frac{a}{a+c+2+2\sqrt{\frac{b^2}{2a}.\frac{a}{2}}}=\frac{a}{a+b+c+2}\)
Và \(\left(a+b\right)^2+c^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2\)
Suy ra \(P\le\frac{a+b+c}{a+b+c+2}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{32}\)
Đặt \(t=a+b+c\ge4,P\le f\left(t\right)=\frac{t}{t+2}-\frac{t^2}{32}\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{2}{\left(t+2\right)^2}-\frac{t}{16}=\frac{32-t\left(t+2\right)^2}{16\left(t+2\right)^2}<0\) với mọi \(t\ge4\)
Suy ra hàm số \(f'\left(t\right)\) nghịch biến trên \(\left(4;+\infty\right)\). Do đó \(P\le f\left(t\right)\le f\left(4\right)=\frac{1}{6}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases}a=b;a+b=c\\a+b+c=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=1,c=2\)
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng \(\frac{1}{6}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 1 2021
1.
- Với \(a+b\ge4\Rightarrow A\le0\)
- Với \(a+b< 4\Rightarrow4-a-b>0\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.b.\left(4-a-b\right)\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+4-a-b\right)^4=4\)
\(A_{max}=4\) khi \(\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\)
2.
\(P=a+\dfrac{1}{2}.a.2b\left(1+2c\right)\le a+\dfrac{a}{8}\left(2b+1+2c\right)^2\)
\(P\le a+\dfrac{a}{8}\left(7-2a\right)^2=\dfrac{1}{8}\left(4a^3-28a^2+57a-36\right)+\dfrac{9}{2}\)
\(P\le\dfrac{1}{8}\left(a-4\right)\left(2a-3\right)^2+\dfrac{9}{2}\le\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 1 2021
Câu 3 bạn xem lại đề, mình có thể chắc chắn với bạn là đề sai
Ví dụ bạn cho \(x=98,y=100\) thì vế trái chỉ lớn hơn 8 một chút
Đề đúng phải là: \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)
TT
27 tháng 9 2020
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau :
\(\sqrt[3]{4.\left(x^3+y^3\right)}\ge x+y\) với \(x,y>0\)
BĐT tương đương :
\(4.\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)( đúng )
Áp dụng vào bài toán có :
\(P\ge a+b+b+c+c+a=2.\left(a+b+c\right)=2.2019=4038\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
KN
25 tháng 4 2020
Xét biểu thức \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
\(=\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(abc+ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{4+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)(Do \(ab+bc+ca+abc=4\)theo giả thiết)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}=1\)(***)
Với x,y dương ta có 2 bất đẳng thức phụ sau:
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(*)
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(**)
Áp dụng (*) và (**), ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\frac{1}{a+b+4}=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)(2)
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c+2}+\frac{1}{a+2}\right)\)(3)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)(theo (***))
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn dùng phương pháp tiếp tuyến làm nhé