cho a,b,c thỏa mãn :\(a^2 b^2 c^2\le8\).Tìm min S=ab bc 2cacho x,y thỏa mãn \(x y\le1\) .Tìm min A=\(\frac{1}{x^2 y^2} \frac{2}{xy}\)cho x,y >0 , x y=1.Tìm min P=\(2\left(x^4 y^4\right) \frac{1}{4xy}\...

1) cho các số thực dương a,b thỏa mãn \(3a+b\le1\). Tìm Min của \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)2) Với hai số thực a,b không âm thỏa mãn \(a^2+b^2=4\). Tìm Max \(M=\dfrac{ab}{a+b+2}\)3) Cho x,y khác 0 thỏa mãn \(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\). Tìm...

0

MT

Mai Tiến Đỗ

23 tháng 1 2021

2

TM

Trần Minh Hoàng

23 tháng 1 2021

1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).

Đúng(1)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

23 tháng 1 2021

2.

\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)

\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )

\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)

\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)

3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Đúng(1)

MY

Mika Yuuichiru

13 tháng 4 2018

Cho a,b,c dương thỏa mãn x+y=1.

Tìm min A=\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

#Toán lớp 8

1

BT

Bùi Thế Hào

13 tháng 4 2018

Ta có: \(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2=\frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right)\left(1^2+1^2\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacoxki có:

\(A=\frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right)\left(1^2+1^2\right)\ge\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2\)

=> \(A\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)

Theo BĐT Cauchy thì: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

=> \(A\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2=\frac{1}{2}\left(1+\frac{4}{1}\right)^2=\frac{25}{2}\)

=> \(A_{min}=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

1. Cho x,y là 2 số thực khác 0 thỏa mãn :5x2 +\(\frac{y^2}{4}\)+\(\frac{1}{4x^2}\)=\(\frac{5}{2}\).Tìm min, max của A=2013-xy2.Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1.Tìm min của A=\(\frac{1}{x^2+y^2}\)+\(\frac{2}{xy}\)+4xy3.Cho x,y là 2 số dương thoả mãn x+\(\frac{1}{y}\)\(\le\)1. Tìm min của C=32.\(\frac{x}{y}\)+2011.\(\frac{y}{x}\)4.Cho x,y là 2 số thực dương thỏa mãn x+y=\(\frac{5}{4}\). Tìm min của A=\(\frac{4}{x}\)+\(\frac{1}{4y}\)5.Giải phương trình...

ND

Ngô Đức Hùng

1 tháng 12 2016

3

AN

alibaba nguyễn

2 tháng 12 2016

Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy

ND

Ngô Đức Hùng

1 tháng 12 2016

Các bạn ơi giúp mình với ạ, cảm ơn nhiều!

Mọi người ơi giúp em với ạ. Em cần trước 16h thứ 4 ngày 22/7/2020 ạ. Dùng BĐT Cosy ạ. Cảm ơn mọi người nhiều ạ1) Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức \(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)2) Cho x,y>0 thỏa mãn \(x+y\le1\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy\)3) Cho a,b>0 thỏa mãn \(a+b\le1\).Tìm GTNN của biểu...

TB

Trần Bích Ngân

21 tháng 7 2020

#Toán lớp 8

3

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

21 tháng 7 2020

By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

NM

Nguyễn Minh Đăng

21 tháng 7 2020

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

ND

Ngô Đức Hùng

2 tháng 12 2016

2.Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1.Tìm min của A=\(\frac{1}{x^2+y^2}\)+\(\frac{2}{xy}\) +4xy

2

AN

alibaba nguyễn

2 tháng 12 2016

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}+2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=4+2+5=11\)

NN

Ngô Ngọc Quỳnh Mai

2 tháng 12 2016

A = \(\frac{7}{2}\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)-\frac{5}{2\left(x^2+y^2\right)}\)

Áp dụng bđt cauchy là ra bài

1 Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+xz=2xyz. Tìm GTNN của\(P=\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}+3\cdot\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)2 Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn: \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}=1\) CMR : \(x+y+z\ge2\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)3 Cho \(a;b;c>0\) thỏa mãn : \(a^2+b^2+c^2=1\) Tìm Min...

BK

Bùi Khắc Tuấn Khải

30 tháng 5 2016

Câu hỏi hay

2

1

1st_Parkour

2 tháng 6 2016

mk ko bit

NM

Nhớ Mãi Mái Trường Xưa

3 tháng 6 2016

mik tính ko ra

Bài 1: Cho a,b,c dươnga) Tìm Max \(P=\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\)b) Tìm Max \(Q=\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\)Bài 2: Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x+y+z=\frac{3}{2}\).Chứng minh rằng \(x+2xy+4xyz\le2\)Bài 3: Cho a,b thỏa mãn \(\left(x+y\right)^3+4xy\ge2\). Tìm Min \(P=3\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1\)Bài 4: Cho x,y,z...

LT

Lê Tài Bảo Châu

25 tháng 10 2020

Câu hỏi hay

5

KN

Kiệt Nguyễn

27 tháng 10 2020

Bài 2: Ta có: x, y, z không âm và \(x+y+z=\frac{3}{2}\)nên \(0\le x\le\frac{3}{2}\Rightarrow2-x>0\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta được: \(x+2xy+4xyz=x+4xy\left(z+\frac{1}{2}\right)\le x+4x.\frac{\left(y+z+\frac{1}{2}\right)^2}{4}=x+x\left(2-x\right)^2\)

Ta cần chứng minh \(x+x\left(2-x\right)^2\le2\Leftrightarrow\left(2-x\right)\left(x-1\right)^2\ge0\)*đúng*

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(1,\frac{1}{2},0\right)\)

KN

Kiệt Nguyễn

29 tháng 10 2020

Bài 3: Áp dụng đánh giá quen thuộc \(4ab\le\left(a+b\right)^2\), ta có: \(2\le\left(x+y\right)^3+4xy\le\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)^2\)

Đặt x + y = t thì ta được: \(t^3+t^2-2\ge0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)\ge0\Rightarrow t\ge1\)(dễ thấy \(t^2+2t+2>0\forall t\))

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge\frac{1}{2}\)

\(P=3\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1=3\left[\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)^2\right]-2\left(x^2+y^2\right)+1\ge\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1\)\(=\frac{9}{4}\left[\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\right]-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{9}{4}.2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)^2.\frac{1}{4}}-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{1}{8}+\frac{7}{16}=\frac{9}{16}\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = ¹/₂

NH

nguyen hoang

12 tháng 8 2017

Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn: \(x+y\le1\).

Tìm Min của biểu thức: \(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}\)

2

DD

Đinh Đức Hùng

12 tháng 8 2017

Các bất đẳng thức đúng : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Áp dụng ta được :

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}\)

Ta có :

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

\(\frac{3}{2xy}\ge\frac{3}{2.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{3}{2.\frac{1}{4}}=6\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}\ge4+6=10\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=10\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

TT

trẻ trâu

14 tháng 8 2018

thangwd hdashdfjdfishjdf

VT

vũ tiền châu

6 tháng 10 2017

cho x,y thỏa mãn

\(\left(x+y+1\right)xy=x^2+y^2\)

tìm min của \(A=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\)

1

AN

alibaba nguyễn

7 tháng 10 2017

Ta có:

\(\left(x+y+1\right)xy=x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow0\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le4\)

Ta lại có:

\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{xy}+\frac{1}{y^2}\right)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\le16\)

PS: Sửa đề tìm max nhé