K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

21 tháng 8 2016

Bài toán phụ: chứng minh \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) với \(x,y\in R\)

Giải: Ta có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng).

Vậy \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y.\)

Theo đề ta có \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{\sqrt{abc}}=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)

Suy ra \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1\)

Mặt khác \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=4\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c+2=4\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c=2\)

Theo bài toán phụ ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà \(a+b+c=2\)\(\Rightarrow\)\(4\ge4a\left(b+c\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(1\ge a\left(b+c\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(b+c\ge a\left(b+c\right)^2\)

Do \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\) nên \(a\left(b+c\right)^2\ge4abc\) hay \(b+c\ge4abc\) (đpcm).

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(b=c=\frac{1}{2},\) \(a=1\)

27 tháng 9 2021

Dấu "=" không xảy ra

\(ĐK:a,b,c>0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\\\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{abc}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\\\sqrt{abc}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)=4\\\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b+c=2\Rightarrow a=2-b-c\)

\(b+c\ge4abc\)

\(\Leftrightarrow b+c-4abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow b+c-4\left(2-b-c\right)bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-4bc+4bc^2\right)+\left(c-4bc+4cb^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-2c\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}-2b\sqrt{c}\right)^2\ge0\) 

Mà do \(a,b,c>0\) nên dấu bằng không xảy ra

\(\Rightarrow b+c>4abc\)

27 tháng 9 2021

Bạn giỏi thật đúng như bản cover mình luôn. Chớ mà sử dụng Côsi nhanh hơn bạn ạ. Mình cảm ơn bạn nhé hahihahi

25 tháng 10 2016

chỗ ấy 1 số 2 thôi .các bạn giúp mik với

6 tháng 7 2019

a) Ta có BĐT:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

6 tháng 7 2019

cảm ơn ạ

24 tháng 1 2018

bđt cần c/m tương đương với:

\(\left(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)+\left(\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\right)+\left(\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\\ \ \)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)

Mặt khác:

\(a+b+c\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}\)

\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

=> \(VT\ge3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

Ta cần c/m: 

\(3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)

<=> \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\)(BĐt Cô-si)

xong rồi bạn nhé

25 tháng 12 2019

dit me may