(Hải Phòng) 1) Cho \(x,y>0\), chứng minh rằng \(\frac{1}{x y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x} \frac{1}{y}\right)\). 2) Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a} \frac{1}{b} \f...

0

TM

Tuấn Minh Nguyễn

6 tháng 11 2018

a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a cs \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:

\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

1

PM

Phùng Minh Quân

6 tháng 11 2018

\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)

Chúc bạn học tốt ~

AA

Admin (a@olm.vn)

Admin VIP

23 tháng 3 2021

(Nghệ An)

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y\le z\). Chứng minh rằng

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\frac{27}{2}\).

1. Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn \(\left|x+\frac{1}{10}\right|+\left|x+\frac{2}{10}\right|+...+\left|x+\frac{9}{10}\right|=10x\) 2. Chứng minh rằng : a) \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n} \frac{1}{3}\) với mọi số nguyên dương n b)\(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^n} \frac{4}{9}\) với mọi số nguyên dương n 3. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = \(\frac{x}{y+z+3}=\frac{y}{z+x+2}+\frac{z}{z+y-5}\) 4. Cho các số thực dương...

0

HM

Haa My

4 tháng 10 2020

#Toán lớp 7

4

HP

Hồng Phúc

7 tháng 10 2020

1.

\(10x=|x+\dfrac{1}{10}|+|x+\dfrac{2}{10}|+...+|x+\dfrac{9}{10}| \ge 0\)

\(\Rightarrow x\ge0\)

\(pt\Leftrightarrow x+\frac{1}{10}+x+\frac{2}{10}+...+x+\frac{9}{10}=10x\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+...+\frac{9}{10}=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{9}{2}\)

HP

Hồng Phúc

7 tháng 10 2020

4.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{a}{b+3c}=\frac{b}{c+3a}=\frac{c}{a+3b}=\frac{a+b+c}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a=b+3c\left(1\right)\\4b=c+3a\left(2\right)\\4c=a+3b\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow4a=b+3\left(4b-3a\right)\)

\(\Rightarrow12a=12b\Rightarrow a=b\left(4\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(3\right)\Rightarrow4c=a+3\left(4a-3c\right)\)

\(\Rightarrow12a=12c\Rightarrow a=c\left(5\right)\)

Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)

DT

Duong Thi Minh

10 tháng 4 2017

Giải chi tiết hộ mk:

1/Tìm x, y nguyên thoả mãn \(x+y+xy+2=x^2+y^2\)

2/Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc=1.chứng minh rằng:

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)

6

AN

alibaba nguyễn

11 tháng 4 2017

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)

Ta có:

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\frac{6b-c-a-2}{8}\\\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6c-a-b-2}{8}\end{cases}}\)

Cộng vế theo vế ta được

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}+\frac{6b-c-a-2}{8}+\frac{6c-a-b-2}{8}\)

\(=\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

AN

alibaba nguyễn

10 tháng 4 2017

Mai mình làm cho

Giải tiếp mình với !!!!!1. Cho x,y là hai số dương thỏa x+y=1. C/M \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\)2. Chứng minh rằng nếu \(0< b< a\le2\)và \(2ba\le2b+a\)thì \(a^2+b^2\le5\)3. Cho ba số a,b,c dương thỏa abc=1. Chứng minh: \(\left(a+\frac{1}{b}-1\right)\left(b+\frac{1}{c}-1\right)\left(c+\frac{1}{a}-1\right)\le1\)4. Cho a,b,c,d dương thỏa: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}=3\)Chứng...

DT

Đặng Thiên Long

2 tháng 9 2018

3

NT

Nguyễn Tất Đạt

2 tháng 9 2018

Câu 1: Đặt \(S=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{x}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(y+1\right)}}\)

\(\frac{S}{\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{\left(3-3x\right)\left(x+1\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(3-3y\right)\left(y+1\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\sqrt{\left(3-3x\right)\left(x+1\right)}\le\frac{3-3x+x+1}{2}=\frac{4-2x}{2}=2-x\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{\left(3-3x\right)\left(x+1\right)}}\ge\frac{x}{2-x}\)

Tương tự: \(\frac{y}{\sqrt{\left(3-3y\right)\left(y+1\right)}}\ge\frac{y}{2-y}\)

Từ đó: \(\frac{S}{\sqrt{3}}\ge\frac{x}{2-x}+\frac{y}{2-y}=\frac{x^2}{2x-x^2}+\frac{y^2}{2y-y^2}\)

Áp dụng BĐT Schwarz: \(\frac{S}{\sqrt{3}}\ge\frac{x^2}{2x-x^2}+\frac{y^2}{2y-y^2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2\left(x+y\right)-\left(x^2+y^2\right)}=\frac{1}{2-\left(x^2+y^2\right)}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{S}{\sqrt{3}}\ge\frac{1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow S\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)(ĐPCM).

Dấu bằng có <=> \(x=y=\frac{1}{2}\).

NT

Nguyễn Tất Đạt

2 tháng 9 2018

Câu 4: Sửa đề CMR: \(abcd\le\frac{1}{81}\)

Ta có: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)+\left(1-\frac{1}{1+d}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\)(AM-GM)

Tương tự:

\(\frac{1}{1+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\)\(;\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+d\right)}}\)

\(\frac{1}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Nhân 4 BĐT trên theo vế thì có:

\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{\left(abcd\right)^3}{\left[\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)\right]^3}}\)

\(=81.\frac{abcd}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\)

\(\Rightarrow81.abcd\le1\Leftrightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)(ĐPCM)

Dấu "=" có <=> \(a=b=c=d=\frac{1}{3}\).

MN

Momozono Nanami

27 tháng 8 2018

cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn điều kiện

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\)

Chứng minh \(xyz\le\frac{1}{8}\)

2

DL

Dương Lam Hàng

27 tháng 8 2018

Ta có: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}=2-\frac{1}{y+1}-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}=\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\) (1)

(Vì x;y;z dương nên áp dụng BĐT Cô-si)

Chưng minh tương tự ta có: \(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}=\frac{2\sqrt{xz}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\) (2)

\(\frac{1}{z+1}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\) (3)

Nhân (1) với (2) với (3) ta có:

DL

Dương Lam Hàng

27 tháng 8 2018

giải tiếp

\(\frac{1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{z+1}=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8\sqrt{\left(xyz\right)^2}}{\sqrt{\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2}}\)

Với x;y;z > 0 nên \(1\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\Leftrightarrow1\ge8xyz\Leftrightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)

Vậy ....

1) Cho x,y,a,b là các số thực thỏa mãn :\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}\) và \(x^2+y^2=1\)Chứng minh \(\frac{x^{2006}}{a^{1003}}+\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1003}}????\) 2) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng...

HT

Hoàng Tử Lớp Học

27 tháng 1 2017

#Toán lớp 8

1

AN

alibaba nguyễn

30 tháng 1 2017

1/ Ta có: \(\frac{x^4}{1a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow1bx^4\left(a+b\right)+ay^4\left(a+b\right)=ab\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ay^2-bx^2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{1a}=\frac{y^2}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{x^{2006}}{1a^{1003}}=\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1003}}\)

\(\Rightarrow\frac{x^{2006}}{a^{1003}}+\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1003}}\)

VN

Vuong Ngoc Nguyen Ha (Gau Truc)

21 tháng 12 2017

a)Tìm các cặp số (x,y) thỏa mãn điều kiện x³+y³=x⁴+y⁴=1

b)Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3

Chứng minh rằng \(\frac{1+a}{1+b^2}+\frac{1+b}{1+c^2}+\frac{1+c}{1+a^2}\ge3\)

#Toán lớp 8

1

T

tth_new

27 tháng 3 2019

b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)

\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)

Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:

\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)

\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1