Cho \(\Delta ABC\) đều, đường cao $AH$. $M$ là điểm bất kì trên đáy $BC$. Kẻ \(MP\perp AB\) và \(MQ\perp AC\). Gọi $O$ là trung điểm của $AM$.
a) Chứng minh năm điểm $A$, $P$, $M$, $H$, $Q$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác $OPHQ$ là hình gì?
c) Xác định vị trí của $M$ trên $BC$ để $PQ$ có độ dài nhỏ...
Đọc tiếp
Cho \(\Delta ABC\) đều, đường cao $AH$. $M$ là điểm bất kì trên đáy $BC$. Kẻ \(MP\perp AB\) và \(MQ\perp AC\). Gọi $O$ là trung điểm của $AM$.
a) Chứng minh năm điểm $A$, $P$, $M$, $H$, $Q$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác $OPHQ$ là hình gì?
c) Xác định vị trí của $M$ trên $BC$ để $PQ$ có độ dài nhỏ nhất.
hình bạn tự vẽ nha :
a.Ta có:
ˆAPM=ˆAHM=ˆAQM=90oAPM^=AHM^=AQM^=90o
→A,P,H,M,Q∈→A,P,H,M,Q∈ đường tròn đường kính AMAM
b.Từ câu a →A,P,H,M,Q∈(O,12AM)→A,P,H,M,Q∈(O,12AM)
→OP=OH=OM=OQ→OP=OH=OM=OQ
Mà ΔABCΔABC đều, AH⊥BC→ˆBAH=ˆHAC=30oAH⊥BC→BAH^=HAC^=30o
→ˆHOQ=2ˆHAQ=60o,ˆPOH=2ˆPAH=60o→HOQ^=2HAQ^=60o,POH^=2PAH^=60o
Do OP=OH,OH=OQOP=OH,OH=OQ
→ΔOPH,ΔOHQ→ΔOPH,ΔOHQ đều
→PH=OP=OQ=QH→PH=OP=OQ=QH
→OPHQ→OPHQ là hình thoi
a) Có \widehat{APM}=\widehat{AHM}=\widehat{AQM}=90^oAPM=AHM=AQM=90o nên 5 điểm A, P, M, H, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AM.
b) Vì AH là đường cao của tam giác đều ABC nên \widehat{BAH}=\widehat{HAC}=30^oBAH=HAC=30o.
Vì A, P, M, H, Q cùng nằm trên đường tròn tâm O nên OP = OH = OQ = OM và \widehat{POH}=2\widehat{PAH}=60^oPOH=2PAH=60o ; \widehat{QOH}=60^oQOH=60o suy ra OPH và OQH là hai tam giác đều, do đó OQHP là hình thoi.
c) Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác APMHQ thì AM = 2r và OPH, OQH là hai tam giác đều cạnh r. Do đó PQ=2.\dfrac{r\sqrt{3}}{2}=AM.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ge AH.\dfrac{\sqrt{3}}{2}PQ=2.2r3=AM.23≥AH.23
Do đó PQ ngắn nhất khi và chỉ khi M là trung điểm BC.