Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+\frac{1}{41}+...+\frac{1}{100^2+101^2}<\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
D
1 tháng 5 2015
\(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+\frac{1}{41}+\frac{1}{61}+\frac{1}{85}+\frac{1}{113}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+\frac{1}{41}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{85}+\frac{1}{113}\right)\)
< \(\frac{1}{5}+\frac{1}{12}.3+\frac{1}{60}.3=\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}=\frac{4}{20}+\frac{5}{20}+\frac{1}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)(đpcm)
LT
23 tháng 3 2017
ê cho hỏi tại sao lại ra < \(\frac{1}{5}+\frac{1}{12}.3+\frac{1}{60}.3\)
8 tháng 8 2020
Giúp mình nha. Bài cuối cùng của đề toán dài 36 bài của mình đó
8 tháng 8 2020
\(A=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{100.100}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}< 1\)
Nên từ đây => \(A< 1\) (ĐPCM)
NV
0
18 tháng 4 2015
RÚT GỌN:
\(\frac{3.13-13.18}{15.40-80}=\frac{13.\left(3-18\right)}{15.40-40.2}=\frac{13.\left(-15\right)}{40\left(15-2\right)}=\frac{13.\left(-15\right)}{40.13}=-\frac{15}{40}=-\frac{3}{8}\)
CHỨNG MINH:
Ta thấy \(\frac{1}{101}>\frac{1}{150};\frac{1}{102}>\frac{1}{150};...;\frac{1}{149}>\frac{1}{150}\)
=>\(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{150}>\frac{1}{150}.\left(150-101+1\right)=\frac{1}{150}.50=\frac{50}{150}=\frac{1}{3}\)(đpcm)
TÍNH HỢP LÝ:
B=\(\frac{5}{13}+\frac{-5}{7}-\frac{20}{41}+\frac{8}{13}+\frac{-21}{41}=\left(\frac{5}{13}+\frac{8}{13}\right)+\left(\frac{-21}{41}-\frac{20}{41}\right)+\frac{-5}{7}=1+\left(-1\right)+\frac{-5}{7}=0+\frac{-5}{7}=\frac{-5}{7}\)
12 tháng 12 2018
Đặt \(A=\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2018^2+2019^2}\)
\(2A=\frac{2}{1^2+2^2}+\frac{2}{2^2+3^2}+\frac{2}{3^2+4^2}+...+\frac{2}{2018^2+2019^2}\)
Có \(a^2+b^2\ge2ab\) ( Cosi cho 2 số dương )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
Mà 1;2;3;4;...;2019 là những số khác nhau nên dấu "=" không xảy ra
\(\Rightarrow\)\(2A< \frac{2}{2\left(1.2\right)}+\frac{2}{2\left(2.3\right)}+\frac{2}{2\left(3.4\right)}+...+\frac{2}{2\left(2018.2019\right)}\)
\(=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2018.2019}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}=1-\frac{1}{2019}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(2A< 1\)\(\Rightarrow\)\(A< \frac{1}{2}\) ( đpcm )
...
18 tháng 3 2018
Đặt \(S=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+.......+\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow3S=1+\frac{2}{3}+.......+\frac{101}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3S-S=\left(1+\frac{2}{3}+..+\frac{101}{3^{100}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+..+\frac{101}{3^{101}}\right)\)
\(\Rightarrow2S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}< 1+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow6S< 3+1+........+\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow6S-2S< \left(3+1+....+\frac{1}{3^{99}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3^{100}}\right)\)
\(\Rightarrow4S< 3-\frac{1}{3^{100}}< 3\Rightarrow S< \frac{3}{4}\)
S
18 tháng 3 2018
Đặt \(A=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}+\frac{101}{3^{101}}\)
\(3A=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}+\frac{101}{3^{100}}\)
\(3A-A=\left(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{101}{3^{100}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{101}{3^{101}}\right)\)
\(2A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}\)
\(6A=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{101}{3^{100}}\)
\(6A-2A=\left(3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{101}{3^{100}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}\right)\)
\(4A=3-\frac{101}{3^{100}}-\frac{1}{3^{100}}+\frac{101}{3^{101}}\)
\(4A=3-\frac{303}{3^{101}}-\frac{3}{3^{101}}+\frac{100}{3^{101}}\)
\(4A=3-\frac{206}{3^{101}}< 3\)
=>\(4A< 3\)
\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\)
