Cho \(x\ge-1,y\ge1\) thỏa mãn \(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+8}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(P=x^2+y^2-5\left(x+y\right)+2020\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 1 2017
Ta có: \(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+8}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)+10x-6y+8\le2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2+8\left(x-y\right)+8\le0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y+2\right)^2\le0\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+1=y-1\\x-y+2=0\end{cases}\Leftrightarrow}y=x+2\)
Thế vào P ta được
\(P=x^4+\left(x+2\right)^2-5x-5\left(x+2\right)+2020\)
\(=x^4+2x^2-6x+2014\)
\(=\left(x^2-1\right)^2+3\left(x-1\right)^2+2010\ge2010\)
Vậy GTNN là P = 2010 đạt được khi x = 1, y = 3
10 tháng 12 2017
Ta có: √x+1+√y−1≤√2(x+y)
⇔√2(x−y)2+10x−6y+8≤√2(x+y)
⇔2(x−y)+10x−6y+8≤2(x+y)
⇔2(x−y)2+8(x−y)+8≤0
⇔2(x−y+2)2≤0
Dấu = xảy ra khi {
| x+1=y−1 |
| x−y+2=0 |
⇔y=x+2
Thế vào P ta được
P=x4+(x+2)2−5x−5(x+2)+2020
=x4+2x2−6x+2014
=(x2−1)2+3(x−1)2+2010≥2010
Vậy GTNN là P = 2010 đạt được khi x = 1, y = 3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 5 2019
\(S=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
\(S\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\) khi \(x=y\)
DT
16 tháng 6 2019
Cách của mình dài ,bạn nào có cách khác ngắn gọn hơn thì chỉ cho mình với ạ. Cảm ơn
Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}.\)(*)
Thật vậy: \(ax+by\le\sqrt{\left(ax+by\right)^2}\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)(BĐT bunhiacopxi)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge a^2+b^2+x^2+y^2+2\left(ax+by\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\). BĐT đã được chứng minh
Xét : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=x^2-\left(1+x^2\right)=-1.\)
Theo giả thết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow2018\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=-\left(y+\sqrt{1+y^2}\right).\)
\(\Leftrightarrow2018x+y=2018\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}.\)(1)
Tương tự:
Xét:\(\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=y^2-\left(1+y^2\right)=-1\)
Theo giả thiết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow2018\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=-\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+2018y=-\sqrt{1+x^2}+2018\sqrt{1+y^2}\)(2)
Cộng các vế của (1) và (2) lại ta được
\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\right)\)
Khi đó áp dụng bất đẳng thức (*) ta có;
\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1^2+x^2}+\sqrt{1^2+y^2}\right)\ge2017\left(\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(x+y\right)^2}\right)\)
\(\Rightarrow2019\left(x+y\right)\ge2017\sqrt{4+\left(x+y\right)^2}\)
Đặt \(x+y=a>0\)ta có;
\(2019a\ge2017\sqrt{4+a^2}\Leftrightarrow2019^2a^2\ge2017^2a^2+2017^2.4\)
\(\Leftrightarrow\left(2019^2-2017^2\right)a^2\ge\left(2017.2\right)^2\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2.2.2}{2.4036}\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2}{2018}\)
\(\Rightarrow a\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}\Rightarrow x+y\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y là \(\frac{2017}{\sqrt{2018}}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=\frac{2017}{2\sqrt{2018}}.\)
CV
16 tháng 6 2019
bn đào thu hà k cần cm bdt phụ đâu đấy là bdt mincopski đc dùng luôn
18 tháng 10 2020
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
\(P=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{10}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5}{2x+3\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{10}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5}{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{x}+1+10\left(\sqrt{x}+1\right)-5}{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{x}+1+10\sqrt{x}+10-5}{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{x}+1}\)
b) Để P nguyên tố thì \(\frac{6}{\sqrt{x}+1}\) nguyên tố
Để \(P\inℕ^∗\) thì \(\sqrt{x}+1\inƯ\left(6\right)\)
Mà P nguyên tố \(\Rightarrow\frac{6}{\sqrt{x}+1}=\left\{2;3\right\}\Rightarrow\sqrt{x}+1=\left\{2;3\right\}\)
Với \(\sqrt{x}+1=2\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\)
Với \(\sqrt{x}+1=3\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)
Vậy ...........