Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tam giác BCD.
a) Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng (ACD) tại B'.
Chứng minh rằng AB', BM và CD đồng quy tại một điểm.
b) Chứng minh M B ' B A = d t ∆ M C D d t ∆ B C D
c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ACB) và (ACD) kẻ từ M cắt (ABD) tại C' và đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ADC) và (ADB) kẻ từ M cắt (ABC) tại D'. Chứng minh rằng M B ' B A + M C ' C A + M D ' D A = 1
a) MB' qua M và song song với (ABC) và (ABD) ⇒ MB′ song song với giao tuyến AB của hai mặt phẳng này. Ta có: MB′ // AB nên MB' và AB xác định một mặt phẳng. Giả sử MB cắt AB' tại I.
Ta có: I ∈ BM ⇒ I ∈ (BCD)
I ∈ AB′ ⇒ I ∈ (ACD)
Nên I ∈ (BCD) ∩ (ACD) = CD
Có: I ∈ CD
Vậy ba đường thẳng AB', BM và CD đồng quy tại I.
b) MB′ // AB![Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11](http://cdn.hoc24.vn/bk/6fc7voFa8DBh.png)
Kẻ MM′ ⊥ CD và BH ⊥ CD
Ta có: MM′ // BH![Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11](http://cdn.hoc24.vn/bk/prr6fSt5NF89.png)
Mặt khác:
Do đó:![Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11](http://cdn.hoc24.vn/bk/QPkJVcMuO9UD.png)
Vậy![Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11](http://cdn.hoc24.vn/bk/Zf3HfCfIEqCj.png)
c) Tương tự ta có:![Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11](http://cdn.hoc24.vn/bk/ljPKoPNRWy1B.png)
Vậy: