Cho \(a+b\le1\) .Tìm Min của :A= \(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{1}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
18 tháng 5 2017
đặt x = a; y = b/2; z = c/3. khi đó ta có \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\le1.\)
quy đồng, nhân chéo ta được (1+x)(1+y) + (1+y)(1+z) + (1+z)(1+x) \(\le\)(1+x)(1+y)(1+z).
nhân phá ngoặc, rút gọn ta được x + y + z + 2 \(\le\)xyz. (1)
mặt khác ta có \(1\ge\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{\left(1+x\right)+\left(1+y\right)+\left(1+z\right)}\ge\frac{9}{x+y+z+3}\)
nên x+ y + z \(\ge\)6 (2)
từ (1) và (2) suy ra xyz \(\ge\)8 hay S = abc \(\ge\)48.
dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = 2; b = 4; c = 6.
vậy Min S = 48.
W
1
29 tháng 4 2018
We have : \(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)
By Cauchy - Schwarz and AM - GM have :
\(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
Then greatest posible of A is 6 when \(a=b=\frac{1}{2}\)
TN
13 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\)
Và \(P=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)
\(=a^2+\frac{1}{16a^2}+b^2+\frac{1}{16b^2}+15\left(\frac{1}{16a^2}+\frac{1}{16b^2}\right)\)
\(\ge2\sqrt{a^2\cdot\frac{1}{16a^2}}+2\sqrt{b^2\cdot\frac{1}{16b^2}}+15\cdot2\sqrt{\frac{1}{16a^2}\cdot\frac{1}{16b^2}}\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+15\cdot2\cdot\frac{1}{16ab}\)\(\ge1+15\cdot2\cdot\frac{1}{16\cdot\frac{1}{4}}=\frac{17}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
TT
1
H
24 tháng 8 2018
Ta có :\(A=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}\)
\(A\ge\frac{4}{2ab+a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}\)
\(A\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{3}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\)
\(A\ge4+6=10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2ab\\a+b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy Min A = 10 <=> a = b = 1/2
20 tháng 12 2016
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{1+a^2+b^2+2ab}\)
\(=\frac{4}{1+\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1+1}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_A=2\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
VT
22 tháng 9 2017
a) ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)
tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)
=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)
mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)
cộng từng vế ta có \(S\ge9\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2
câu 2 tương tự
VT
22 tháng 9 2017
chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin
K
1
PN
1 tháng 9 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)\ge2\sqrt{\frac{a.4.a.\left(1+b\right)}{\left(1+b\right)9}}=2\sqrt{\frac{4a^2}{3^2}}=\frac{4a}{3}\)
\(\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge2\sqrt{\frac{b.4.b.\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)9}}=2\sqrt{\frac{2^2b^2}{3^2}}=\frac{4b}{3}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge\frac{4a}{3}+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{4a}{3}-\frac{4}{9}\left(a+ab\right)-\frac{4}{9}\left(b+ab\right)+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{8a}{9}+\frac{8b}{9}-\frac{4}{9}ab-\frac{4}{9}ab\)
\(< =>S\ge\frac{1}{a+b}+\frac{8}{9}\left(a+b\right)-\frac{8}{9}ab=\left(\frac{1}{a+b}+a+b\right)-\frac{a+b+8ab}{9}\)
\(< =>S\ge2-\frac{a+b+8ab}{9}\)
Do \(4ab\le\left(a+b\right)^2\le1< =>a+b+8ab\le3\)
Khi đó ta được : \(S\ge2-\frac{3}{9}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\).Đẳng thức xảy ra \(< =>a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(S=\frac{5}{3}\)đạt được khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
DH
2
22 tháng 9 2017
Đặt \(t=\frac{1}{ab}\) ; \(ab=\frac{1}{t}\)
=> \(\frac{1}{ab}\ge\frac{1}{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=4\)
Dự đoán a = b = 1/2 => t = 4
Có : \(S=\frac{1}{t}+t=\left(\frac{t}{16}+\frac{1}{t}\right)+\frac{15t}{16}\ge2\sqrt{\frac{t}{16}.\frac{1}{t}}+\frac{15.4}{16}=\frac{17}{4}\)
Vậy \(Min_S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
CM
21 tháng 9 2017
sử dụng bđt Cô-si với hai số không âm ta có:
ab+1/ab\(\ge\)2\(\sqrt{ab.\frac{1}{ab}}\)
hay ab+1/ab\(\ge\)2 hay S\(\ge\)2
Dấu bằng xảy ra khi ab=1/ab\(\Leftrightarrow\)a2b2=1\(\Leftrightarrow\)ab=1.Mà a+b\(\le\)1
\(\Rightarrow\)a=b=1(thỏa mãn a.b dương)
Vậy minS=2 khi a=b=1