1 . Chứng minh \(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}} 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
2 .
Cho đường tròn tâm O bán kính R và M là điểm cố định nằm bên trong đường
tròn. Qua M vẽ hai dây di động AB ,CD vuông góc với nhau.
a) Chứng minh rằng
\(AC^2+BD^2=AD^2+BC^2\) và \(AD^2+BC^2\) không đổi
b) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng \(IO^2+IM^2=R^2\) suy ra quỹ tích...
Đọc tiếp
1 . Chứng minh \(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
2 .
Cho đường tròn tâm O bán kính R và M là điểm cố định nằm bên trong đường tròn. Qua M vẽ hai dây di động AB ,CD vuông góc với nhau. a) Chứng minh rằng \(AC^2+BD^2=AD^2+BC^2\) và \(AD^2+BC^2\) không đổi b) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng \(IO^2+IM^2=R^2\) suy ra quỹ tích của điểm I
a ) Ta co \(AC^2+BD^2=MA^2+MC^2+MB^2+MD^2\)
\(=\left(MA^2+MD^2\right)+\left(MB^2+MC^2\right)=AD^2+BC^2\)
Kẻ đường kính CE ta có \(\widehat{CDE}=90^0\)
Hay \(CD\perp DE\)
\(\Rightarrow DE\)// \(AB\) nên tứ giác ABED là hình thang cân
\(\Rightarrow AD=BE\)
Ta có : \(AD^2+BC^2=BE^2+BC^2=CE^2=4R^2\) không dổi
b ) Vì IB = IC = IM nên \(IO^2+IM^2=OC^2-IM^2+IM^2=R^2\)
Gọi J là trung điểm của MO . Áp dụng công thức đường trung tuyến trong \(\Delta IMO\) Ta có : \(IJ=\sqrt{\frac{IO^2+IM^2}{2}-\frac{MO^2}{4}}=\sqrt{\frac{R^2}{2}-\frac{MO^2}{4}}\) ( không dổi vì OM cố định ) Do đó I chạy trên đường tròn tâm J bán kính IJ không đổi Chúc bạn học tốt !!