cho đường tròn tâm O và điềm M nằm bên ngoài đường tròn . từ M kẻ tiếp tuyến MA(A là tiếp điểm )và cát tuyến MBC sao cho góc BAC nhỏ hơn 90 độ tia phân giác của góc BAC cắt BC ở D cắt đường tròn E chứng minh a) MA=MDB)AD nhân AE= AC nhan AB C) OE là trung trực của BC M A B C D E 1 2 O (Hình vẽ do Admin thêm...
Đọc tiếp
cho đường tròn tâm O và điềm M nằm bên ngoài đường tròn . từ M kẻ tiếp tuyến MA(A là tiếp điểm )và cát tuyến MBC sao cho góc BAC nhỏ hơn 90 độ tia phân giác của góc BAC cắt BC ở D cắt đường tròn E chứng minh
a) MA=MD
B)AD nhân AE= AC nhan AB
C) OE là trung trực của BC
(Hình vẽ do Admin thêm vào)
a/ Ta có: AD là phân giác của góc BAC
=>góc CAD=góc BAD (=1/2 góc BAC)(1)
Mà: góc CAD=1/2 sđ cung EC nhỏ (2)
góc BAD=1/2 sđ cung EB nhỏ (3)
Từ (1),(2) và (3)=> cung nhỏ EC = cung nhỏ EB (4)
Ta có: góc MAD=1/2 (sđ cung nhỏ AB+sđ cung nhỏ EB) (5) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
góc MDA = 1/2(sđ cung nhỏ AB+sđ cung nhỏ EC) (6) (góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn)
Từ(4),(5) và (6)=>góc MAD=góc MDA
=> tam giác MAD cân tại M=>MA=MD (đpcm)
b/ Xét hai tam giác: tam giác ADC và tam giác ABE có:
góc CAD=góc BAD(gt) hay góc CAD=góc BAE (1) (A;D;E thẳng hàng)
Theo gt ta có A,B,C,E đều nằm trên đường tròn tâm O
=> Tứ giác ABEC nội tiếp
=> góc ACB=góc AEB (cùng nhìn cạnh AB)
hay góc ACD=góc AEB (vì C;D;B thẳng hàng) (2)
Từ (1) và (2) => tam giác ADC đồng dạng với tam giác ABE
=>AD/AB=AC/AE <=> AD.AE=AC.AB (đpcm)
c/ Ta có: cung nhỏ EB= cung nhỏ EC (c/m câu a) (3)
mà góc COE= sđ cung nhỏ EC (4)
góc BOE=sđ cung nhỏ EB (5)
Từ (3),(4) và (5)=> góc BOE=góc COE
=> OE là đường phân giác của góc BOC trong tam giác BOC (6)
Mà tam giác BOC cân tại O(OC và OB cùng là bán kính của đường tròn tâm O) (7)
Từ(6) và (7)=>OE chứa đường cao AD của tam giác BOC
=> OE vuông góc với BC tại D (8)
Từ (6) và (7) => OE chứa đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác BOC
=>CD=BD=1/2 BC (9)
Từ (8) và (9) => OE là đường trung trực của đoạn BC (đpcm)