Cho \(a+b\ne c\) và \(c^2=2\left(ac+bc-ab\right)\) CMR: \(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{a-c}{b-c}\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 11 2016
Vì \(c^2+2\left(ab-ac-bc\right)=0\) nên :
\(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{a^2+\left(a-c\right)^2+\left(c^2+2ab-2ac-2bc\right)}{b^2+\left(b-c\right)^2+\left(c^2+2ab-2ac-2bc\right)}\)
\(=\frac{2a^2+2c^2-4ac+2ab-2bc}{2b^2+2c^2-4bc+2ab-2ac}=\frac{\left(a-c\right)^2+b\left(a-c\right)}{\left(b-c\right)^2+a\left(b-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a-c\right)\left(a-c+b\right)}{\left(b-c\right)\left(b-c+a\right)}=\frac{a-c}{b-c}\) \(\left(b\ne c,a+b\ne0\right)\)
20 tháng 11 2019
Ta có \(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{a^2+c^2+2ab-2ac-2bc+\left(a-c\right)^2}{b^2+c^2+2ab-2ac-2bc+\left(b-c\right)^2}\)
\(=\frac{\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)+\left(a-c\right)^2}{\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2}=\frac{\left(a-c\right)\left(a-c+2b+a-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b-c+2a+b-c\right)}=\frac{\left(a-c\right)\left(2a+2b-2c\right)}{\left(b-c\right)\left(2a+2b-2c\right)}=\frac{a-c}{b-c}\)
⇒điều phải chứng minh
T
5 tháng 7 2019
Em(mình) thử nhé, ko chắc đâu
3/ Ta có \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2abc\)
\(=\left[ab\left(a+b\right)+abc\right]+\left[bc\left(b+c\right)+abc\right]+\left[ca\left(c+a\right)+ca\right]-abc\)
\(=\left(a+b+c\right)ab+\left(a+b+c\right)bc+\left(a+b+c\right)ca-abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)= -abc
Suy ra \(P=\frac{-abc}{abc}=-1\)
Vậy..
PN
26 tháng 3 2016
Đặt \(A=\frac{c\left(ab+1\right)^2}{b^2\left(bc+1\right)}+\frac{a\left(bc+1\right)^2}{c^2\left(ca+1\right)}+\frac{b\left(ca+1\right)^2}{a^2\left(ab+1\right)}\) và \(x=ab+1;\) \(y=bc+1;\) \(z=ca+1\) \(\left(\text{*}\right)\)
Khi đó, với các giá trị tương ứng trên thì biểu thức \(A\) trở thành: \(A=\frac{cx^2}{b^2y}+\frac{ay^2}{c^2z}+\frac{bz^2}{a^2x}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba phân số không âm của biểu thức trên (do \(a,b,c>0\)), ta có:
\(A=\frac{cx^2}{b^2y}+\frac{ay^2}{c^2z}+\frac{bz^2}{a^2x}\ge3\sqrt[3]{\frac{cx^2}{b^2y}.\frac{ay^2}{c^2z}.\frac{bz^2}{a^2z}}=3\sqrt[3]{\frac{xyz}{abc}}\) \(\left(\text{**}\right)\)
Mặt khác, do \(ab+1\ge2\sqrt{ab}\) (bất đẳng thức AM-GM cho hai số \(a,b\) luôn dương)
nên \(x\ge2\sqrt{ab}\) \(\left(1\right)\) (theo cách đặt ở \(\left(\text{*}\right)\))
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(a\) \(\rightarrow\) \(b\) \(\rightarrow\) \(c\) và với chú ý cách đặt ở \(\left(\text{*}\right)\), ta cũng có:
\(y\ge2\sqrt{bc}\) \(\left(2\right)\) và \(z\ge2\sqrt{ca}\) \(\left(3\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được \(xyz\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\)
Do đó, \(3\sqrt[3]{\frac{xyz}{abc}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=3\sqrt[3]{8}=6\) \(\left(\text{***}\right)\)
Từ \(\left(\text{**}\right)\) và \(\left(\text{***}\right)\) suy ra được \(A\ge6\), tức \(\frac{c\left(ab+1\right)^2}{b^2\left(bc+1\right)}+\frac{a\left(bc+1\right)^2}{c^2\left(ca+1\right)}+\frac{b\left(ca+1\right)^2}{a^2\left(ab+1\right)}\ge6\) (điều phải chứng minh)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=1\)