Cho a,b là hai số thực bất kì, chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình ẩn x sau vô nghiệm
x2 +2ax+ 2a2 - b2 +1 =0 (1)
x2 +2bx+ 3b2 - ab =0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 5 2019
* Giả sử cả 3 pt đều có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ta có :
pt \(x^2-2ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1'=\left(-a\right)^2-b=a^2-b\le0\)
pt \(x^2-2bx+c=0\) (2) có \(\Delta_2'=\left(-b\right)^2-c=b^2-c\le0\)
pt \(x^2-2cx+a=0\) (3) có \(\Delta_3'=\left(-c\right)^2-a=c^2-a\le0\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\le0\) (*)
Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)>0\\b\left(3-b\right)>0\\c\left(3-c\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a>a^2\\3b>b^2\\3c>c^2\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)< 3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)=6>0\)
trái với (*)
Vậy có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt
cái kia chưa bt làm -_-
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 7 2021
\(\Delta_1'=b^2-ac\) ; \(\Delta_2'=c^2-ab\) ; \(\Delta_3'=a^2-bc\)
\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 3 giá trị \(\Delta_1';\Delta_2';\Delta_3'\) không âm
\(\Rightarrow\) Ít nhất 1 trong 3 pt nói trên có nghiệm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 5 2019
Lời giải:
Giả sử cả 2 phương trình đều vô nghiệm. Điều này tương đương với:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta'_1=a^2-b< 0\\ \Delta'_2=b^2-a< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-b+b^2-a< 0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2< a+b\)
Mà: \((a-b)^2\geq 0\Rightarrow a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\)
Do đó: \(\frac{(a+b)^2}{2}\leq a^2+b^2< a+b\Rightarrow (a+b)(2-a-b)>0\) (vô lý với mọi $a+b\geq 2$
Do đó điều giả sử là sai. Tức là ít nhất 1 trong 2 pt đã cho có nghiệm.
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử cả 2 phương trình đã cho đều có nghiệm. Điều này xảy ra
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (\Delta'_1)=a^2-(2a^2-b^2+1)\geq 0\\ (\Delta'_2)=b^2-(3b^2-ab)\geq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^2\geq a^2+1\\ ab\geq 2b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow ab-b^2\geq a^2+1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab+1\leq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\leq -1< 0\) (vô lý)
Do đó điều giả sử là sai. Tức là ít nhất 1 trong 2 pt đã cho vô nghiệm.