cho a, b>0 và a+b=1. CM:
(a+\(\frac{1}{a}\))+(b+\(\frac{1}{b}\))>=2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 10 2016
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{abc}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
Từ đó suy ra đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
a/ \(VT=\frac{1}{a+a+b+c}+\frac{1}{a+b+b+c}+\frac{1}{a+b+c+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
b/ \(VT\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{ca}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(VT\le\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}+\frac{c}{4}+\frac{a}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
HP
20 tháng 11 2016
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=0\)
\(< =>\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{a+c}+b+\frac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)
\(< =>\frac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b^2+b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)
\(< =>\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1\) (chia cả 2 vế cho a+b+c)
NC
29 tháng 9 2020
Xét: \(1+c^2=ab+bc+ca+c^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Tương tự CM được:
\(1+b^2=\left(a+b\right)\left(c+b\right)\) và \(1+a^2=\left(c+a\right)\left(b+a\right)\)
Mặt khác ta tách: \(\hept{\begin{cases}a-b=\left(a+c\right)-\left(b+c\right)\\b-c=\left(a+b\right)-\left(c+a\right)\\c-a=\left(c+b\right)-\left(a+b\right)\end{cases}}\)
Thay vào ta được:
\(Vt=\frac{\left(a+c\right)-\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b\right)-\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{\left(c+b\right)-\left(a+b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\)
\(=0\)
=> đpcm
6 tháng 10 2020
Mình xem phép làm câu 1 ạ.
Đề là?
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)
Chứng minh tương đương
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0 ( quy đồng ) (2)
Từ (1) <=> 2ac = ab + bc Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0
<=> a + c \(\ge\)2b
Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)
=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b
ML
9 tháng 8 2016
a
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Tương tự với 2 cụm còn lại, cộng theo vế và thu gọn sẽ được đpcm.
b
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2}\le\frac{a}{2ab}=\frac{1}{2b}\)
Tương tự với 2 cụm còn lại, cộng theo vế là được đpcm.
Giair đi
Xét \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{1}{4}\ge ab\)
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)\)
\(=1+\frac{b+a}{ab}\)
\(=1+\frac{1}{ab}\ge1+\frac{1}{\frac{1}{4}}=1+4=5\)
=> đề sai