Chứng minh:
b) Nếu \(x+y+z=0\) thì \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=2\left(x^4+y^4+z^4\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HT
1 tháng 8 2018
Ta có:
\(x+y+x=0\)
<=>\(x+y=-z\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(-z\right)^2\\ \Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=z^2\\ \Leftrightarrow x^2+y^2-z^2=-2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-z^2\right)^2=\left(-2xy\right)^2\\ \Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=4x^2y^2\\ \Leftrightarrow x^4+y^4+z^4=4x^2y^2-2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2y^2\\ \Leftrightarrow x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\\ \Leftrightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\\ \Leftrightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
1 tháng 8 2018
Ta có:
\(x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=-z\)
Bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=z^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-z^2=-2xy\)
Bình phương 2 vế thêm lần nữa:
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2x^2y^2-2x^2z^2-2y^2z^2=4x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)
Cộng 2 vế cho \(x^4+y^4+z^4\) , ta có:
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) (đpcm)
16 tháng 8 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(\frac{x^4}{y^2\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{2x}+\frac{x+z}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^4\cdot y^2\cdot\left(x+z\right)}{y^2\cdot\left(x+z\right)\cdot2x\cdot4}}=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{8}}=\frac{3x}{2}\)
Tương tự ta cũng có :
\(\frac{y^4}{z^2\left(x+y\right)}+\frac{z^2}{2y}+\frac{x+y}{4}\ge\frac{3y}{2}\)
\(\frac{z^4}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{x^2}{2z}+\frac{y+z}{4}\ge\frac{3z}{2}\)
Cộng theo vế ta được :
\(VT+\left(\frac{y^2}{2x}+\frac{z^2}{2y}+\frac{x^2}{2z}\right)+\frac{2\left(x+y+z\right)}{4}\ge\frac{3x}{2}+\frac{3y}{2}+\frac{3z}{2}\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
TN
19 tháng 5 2017
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) ta tính được \(A=\frac{1}{4}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của A
Thật vậy áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
Do đó ta cần phải chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
Vậy \(x=y=z=\frac{1}{3}\) thì \(A_{Min}=\frac{1}{4}\)
\(x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=\left(-z\right)^2\)
\(\Rightarrow x ^2+2xy+y^2=z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=-2xy\) (chuyển vế đổi dấu)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2-z^2\right)^2=\left(-2xy\right)^2\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4+2x^2y^2-2y^2z^2-2x^2z^2=4x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
Mong bạn hiểu lời giải của mình.Chúc bạn học tốt.
cảm ơn bạn nhiều