Question

[Huyền Thụn]

1, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n \(\ge\) 2 thì số \(2^{2^n}\) + 1 tận cùng bằng 7

HELP ME !!!!!! AI ĐÚNG THÌ MK TẶNG 3 TICK NHA

Answer 1

[Eren]

Vì n \(\ge\) 2 nên n có dạng 2k hoặc 2k + 1 (k \(\in\) N*)

TH1: Với n = 2k thì \(2^{2^n}+1=2^{2^{2k}}+1=2^{4^k}+1=2^{4^{k-1}.4}+1=16^{4^{k-1}}+1\)

Vì \(16^{4^{k-1}}\) có tận cùng là 6 nên \(16^{4^{k-1}}+1\) có tận cùng là 7

TH2: Với n = 2k + 1 thì \(2^{2^n}+1=2^{2^{2k+1}}+1=2^{2^{2k}.2}+1=4^{4^k}+1=4^{4^{k-1}.4}+1=256^{4^{k-1}}+1\)

Vì \(256^{4^{k-1}}\) có tận cùng là 6 nên \(256^{4^{k-1}}+1\) có tận cùng là 7

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Với \(n\geq 2\Rightarrow 2^n\vdots 4\) nên đặt \(2^n=4t\)

Khi đó \(2^{2^n}+1=2^{4t}+1=16^t+1\)

\(16^t+1=(15+1)^t+1\)

Theo khai triển thì \((15+1)^t\) sẽ chia $5$ dư $1$, do đó \(2^{2^n}+1=16^t+1\) chia $5$ dư $2$

Đặt \(2^{2^n}+1=5k+2\). Vì \(2^{2^n}+1\) lẻ nên \(5k\) lẻ, do đó \(k\) lẻ.

Đặt \(k=2m+1\Rightarrow 2^{2^n}+1=5(2m+1)+2=10m+7\)

Do đó \(2^{2^n}+1(n\geq 2)\) luôn có tận cùng là $7$