cho x,y,z,t >0 thỏa mãn :x+y+z+t=2.cmr:(x+y+z)(x+y)>=16xyzt
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 2 2023
Theo đề, ta có: \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{t}=\dfrac{t}{x}\) \(=\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t+x}=1\) .
\(\Rightarrow x=y;y=z;z=t;t=x\)
\(\Rightarrow x=y=z=t\)
\(M=\dfrac{2x-y}{z+t}+\dfrac{2y-z}{t+x}+\dfrac{2z-t}{x+y}+\dfrac{2t-x}{y-z}\)
\(M=\dfrac{2x-x}{x+x}+\dfrac{2x-x}{x+x}+\dfrac{2x-x}{x+x}+\dfrac{2x-x}{x+x}\)
\(M=\dfrac{1}{2}.4\)
\(M=2\)
KN
1 tháng 6 2020
Theo giả thiết cho: \(xyzt=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\left(1-t\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1-x}{x}.\frac{1-y}{y}.\frac{1-z}{z}.\frac{1-t}{t}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1-x}{x},\frac{1-y}{y},\frac{1-z}{z},\frac{1-t}{t}\right)\rightarrow\left(a,b,c,d\right)\). Lúc đó thì giả thiết được viết lại thành abcd = 1
Ta có: \(a=\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}-1\Rightarrow x=\frac{1}{a+1}\Rightarrow x^2=\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\)
Tương tự, ta có: \(y^2=\frac{1}{\left(b+1\right)^2};z^2=\frac{1}{\left(c+1\right)^2};t^2=\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\)và khi đó ta cần chứng minh:\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\ge1\)
Ta có BĐT phụ sau: \(\frac{1}{\left(p+1\right)^2}+\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{1}{pq+1}\)(*)
Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz cho hai dãy số (pq;1) và \(\left(\frac{p}{q};1\right)\), ta có: \(\left(pq+1\right)\left(\frac{p}{q}+1\right)\ge\left(p+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(p+1\right)^2}\ge\frac{\frac{q}{p+q}}{pq+1}\)(1)
Tương tự ta có: \(\Rightarrow\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{\frac{p}{p+q}}{pq+1}\)(2)
Cộng theo vế của 2 BĐT (1) và (2), ta được:
\(\frac{1}{\left(p+1\right)^2}+\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{1}{pq+1}\)(đúng với (*))
Áp dụng vào bài toán, ta được:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\ge\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{cd+1}\)
\(=\frac{1}{\frac{1}{cd}+1}+\frac{1}{cd+1}=\frac{cd}{cd+1}+\frac{1}{cd+1}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)hay x = y = z = t = \(\frac{1}{2}\)
T
22 tháng 9 2020
2) \(\hept{\begin{cases}^{x^2-xy=y^2-yz}\left(1\right)\\^{y^2-yz=z^2-zx}\left(2\right)\\^{z^2-zx=x^2-xy}\left(3\right)\end{cases}}\)
lấy (2) - (1) suy ra\(2yz=2y^2+xy+xz-x^2-z^2\)
lấy (3) - (1) suy ra \(2xy=zx+yz-z^2+2x^2-y^2\)
lấy (3) - (2) suy ra \(2zx=xy+yz+2z^2-x^2-y^2\)
cộng lại đc \(yz+xz+xy=0\) do đó \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
31 tháng 7 2020
vì 0<x,y,z\(\le\)1 nên (1-x)(1-y) >=0 <=> 1+xy >= x+y
<=> 1+z+xy >= x+y+z
<=> \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\left(1\right)\)
tương tự có \(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\left(2\right);\frac{z}{1+x+xy}\le\frac{z}{x+y+z}\left(3\right)\)
cộng theo vế của (1), (2), (3) ta được
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{x+y+z}{x+y+z}\le\frac{3}{x+y+z}\)
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1