Cho a,b,c khác không. CM:\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)không là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
29 tháng 5 2017
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
Lại có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+a}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1);(2) => 1 < M < 2 => đpcm
LD
2
HP
10 tháng 3 2016
Đặt D= a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)
ta có:D>a/(a+b+c)+b/(b+c+a)+c/(c+a+b)=(a+b+c)/(a+b+c)=1 (*)
Mặt khác, ta có: D =( 1 - b/a+b)+(1 - c/b+c)+(1 - a/c+a) < 3-(b/a+b+c + c/b+c+a + a/c+a+b)=3-1=2
=> D<2 (**)
Từ (*);(**) =>1<D<2 nên D ko là số nguyên (đpcm)
xin lỗi bn vì mk ko gõ trong fx được, chỗ nào ko hiểu thì nhắn tin cho mk
HP
11 tháng 3 2016
đặt \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
Ta có: \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=>A>1 (1)
\(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\left(1-\frac{b}{a+b}\right)+\left(1-\frac{c}{b+c}\right)+\left(1-\frac{a}{c+a}\right)<3-\left(\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+a}+\frac{a}{c+a+b}\right)=3-1=2\)
=>A<2(2)
từ (1);(2)=>1<A<2=> A ko là số nguyên=>đpcm
22 tháng 8 2016
M = a/a+b + b/b+c + c/c+a
M > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c
M > a+b+c/a+b+c
M > 1 (1)
Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)
M = a/a+b + b/b+c + c/c+a
M < a+c/a+b+c + b+c/a+b+c + b+c/a+b+c
M < 2.(a+b+c)/a+b+c
M < 2 (2)
Từ (1) và (2) => 1 < M < 2, không là số nguyên ( đpcm)
23 tháng 8 2016
*Ta có :
a/a+b > a/a+b+c (1)
b/b+c > b/a+b+c (2)
c/c+a > c/a+b+c (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra:
a/a+b + b/b+c + c/c+a > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c = a+b+c/a+b+c = 1 (a)
*Ta có công thức:
- Với a; b và c thuộc N* ta có thể rút ra:
a/b < a+c/b+c
Áp dụng công thức trên, ta có:
a/a+b < a+c/a+b+c (4)
b/b+c < b+a/a+b+c (5)
c/c+a < c+b/a+b+c (6)
Từ (4); (5) và (6) suy ra:
a/a+b + b/b+c + c/c+a < a+c/a+b+c + b+a/a+b+c + c+b/a+b+c = a+c+b+a+c+b/a+b+c = 2a+2b+2c/a+b+c = 2(a+b+c)/a+b+c = 2 (b)
Từ (a) và (b) suy ra:
1 < a/a+b + b/b+c + c/c+a < 2
=> 1 < M < 2
=> M không phải là số nguyên.
Vậy M không phải là số nguyên.
24 tháng 3 2016
Gia su : a/a+b > a/a+b+c (a,b,c THUOC Z )
b/b+c > b/b+c+a
c/c+a > c/c+a+b
=> M > 1 (1)
Mat khac , ta lai co : a/a+c < 1 => a/a+b < a+c/a+b+c
b/b+c < b+a/b+c+a
c/c+a < c+b/c+a+b
=> M < 2 (2)
Tu (1) VA (2) => 1 < M < 2 => M ko phai la so nguyen.
Dung 1000000000% luon do, bai nay thay giao mk chua rui!!!
********** K MK NHA!!!
PB
1
6 tháng 6 2018
Câu hỏi của Tâm Lê Huỳnh Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
TL
3
T
28 tháng 7 2019
#)Giải :
Ta có : \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
Lại có : \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow1< M< 2\)
\(\Rightarrow\) M không phải là số nguyên
KN
28 tháng 7 2019
Vì a,b,c, > 0 nên
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)(1)
\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)(2)
\(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)(3)
Cộng từng vế của (1), (2), (3) suy ra \(1< M< 2\)
Vậy M không là số nguyên
16 tháng 12 2017
+) Do a + b + c> a + b \(\Rightarrow\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
Tương tự \(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
Lại có a < a + b \(\Rightarrow\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a+c}{a+b+c}>\frac{a}{a+b}\)
Tương tự \(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c},\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1) và (2) => 1<M<2 => M không phải là số nguyên
S
16 tháng 12 2017
Vì a,b,c dương, ta có:
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\) (*)
Lại có: \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+b-b}{a+b}+\frac{b+c-c}{b+c}+\frac{c+a-a}{c+a}=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)
Chứng minh tương tự (*) ta có: \(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}>1\)
\(\Rightarrow M< 3-1=2\) (**)
Từ (*) và (**) => 1 < M < 2 => đpcm
S
0
9 tháng 8 2016
Gọi số dư của a và b khi chia m là n
Ta có: a=m*k+n
b=m*h+n
=>a-b=m*k+n -(m*h+n)
=m*k+n-m*h-n
=(m*k-m*h)+(n-n)
=m(k-h) luôn chia hết m
Đpcm
\(m=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)
=>\(\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c};\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{b}{a+b+c};\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{c}{a+b+c}\)
=>\(M=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{a+b+c}{a+b+c}\)
ta có \(\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c};\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{a+b}{a+b+c};\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{b+c}{a+b+c}\)
cộng biểu thức ta đc \(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{b+c}{a+b+c}+\dfrac{c+a}{a+b+c}+\dfrac{a+b}{a+b+c}\)
=>\(M< \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
=>1<M<2
=> M KHÔNG LÀ SỐ NGUYÊN
\(M=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c}\\\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}\)
Mà \(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow M>1\left(1\right)\)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c}\\\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{b+a}{a+b+c}\\\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{c+b}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+a}{a+b+c}\)
Mà: \(\dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+a}{a+b+c}=\dfrac{a+c+b+a+c+a}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow M< 2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)
\(\Rightarrow1< M< 2\)
Vậy \(M=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\) không phải là số nguyên (Đpcm)