tìm GTNN của biểu thức x^2+5y^2+9z^2-4xy-6yz+12
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
0
NV
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 2 2019
\(\Leftrightarrow\left|x-1+\left(x-2y\right)^2+\left(y-3z\right)^2\right|=x-1-\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\)
Để cho gọn, đặt \(\left(x-2y\right)^2+\left(y-3z\right)^2=a\ge0\)
\(\Rightarrow\left|x-1+a\right|=x-1-\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\)
- Nếu \(x-1>0\Rightarrow VT=\left|x-1+a\right|>x-1\)
Mà \(\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\ge0\Rightarrow VP=x-1-\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\le x-1\)
\(\Rightarrow VT>VP\Rightarrow\) pt vô nghiệm
- Nếu \(x-1< 0\Rightarrow VT=\left|x-1+a\right|\ge0\)
\(VP=x-1-\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|< 0\) do \(\left\{{}\begin{matrix}x-1< 0\\\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT>VP\Rightarrow\) pt vô nghiệm
Vậy \(x=1\), khi đó pt trở thành:
\(\left|\left(1-2y\right)^2+\left(y-3z\right)^2\right|=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2y=0\\y-3z=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{2}\\z=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)
Vậy pt đã cho có bộ nghiệm duy nhất \(\left(x;y;z\right)=\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{6}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 2 2019
Biện luận thiếu 1 chút rồi, ở dòng 4 có dấu "=", nên sửa từ dòng 4 đến dòng 6 bằng đoạn này:
\(x-1>0\Rightarrow VT=\left|x-1+a\right|\ge x-1\)
\(VP=x-1-\left|\left(x-1\right)\left(2-x\right)\right|\le x-1\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}x>1\\a=0\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\\left(x-2y\right)^2=0\\\left(y-3z\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
14 tháng 6 2018
Đặt \(A=-2x^2-y^2-2xy+4x+2y+2\)
\(-A=2x^2+y^2+2xy-3x-2y-2\)
\(-A=\left(x^2+2xy+y^2\right)+x^2-4x-2y-2\)
\(-A=\left[\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1\right]+\left(x^2-2x+1\right)-4\)
\(-A=\left(x+y-1\right)^2+\left(x-1\right)^2-4\)
Mà \(\left(x+y-1\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow-A\ge-4\)
\(\Leftrightarrow A\le4\)
Dấu "=" xảy ra khi :
\(\hept{\begin{cases}x+y-1=0\\x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=1\end{cases}}\)
Vậy \(A_{Max}=4\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)
14 tháng 6 2018
Đặt \(B=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+27\)
\(B=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+y^2+10x-22y+27\)
\(B=\left[\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)\times5+25\right]+\)\(\left(y^2-2y+1\right)+1\)
\(B=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\)
Mà \(\left(x-2y+5\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)
\(\Rightarrow B\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi :
\(\hept{\begin{cases}x-2y+5=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\)
Vậy \(B_{Min}=1\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(-3;1\right)\)
29 tháng 8 2021
\(M=2x^2+9y^2-6xy-6x-12y+2028\\ =3\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(x^2+6x+9\right)+6\left(y^2-2y+1\right)+2025\\ =\left(x-y\right)^2-\left(x-3\right)^2+6\left(y-1\right)^2+2025\ge2025\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x=3\\y=1\end{matrix}\right.\) (vô lí) nên dấu \("="\) ko thể xảy ra
29 tháng 8 2021
\(N=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+28\\ =\left(x^2+4y^2+25-4xy-20y+10x\right)+\left(y^2-2y+1\right)+2\\=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\ge2\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=1\end{matrix}\right.\)
PT
1
24 tháng 11 2017
Mình đang bận nên chỉ nói hướng làm thôi nhá. GTNN thì bạn cộng trừ 1, còn GTLN thì bạn cộng trừ 6. Sau đó bạn sẽ tách ra được thành a+(2x^2+y^2)/x^2+y^2
PN
0
28 tháng 8 2020
\(C=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+28\)
\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+y^2+10x-22y+28\)
\(=\left(x-2y\right)^2+10\left(x-2y\right)+25+\left(y^2-2y+1\right)+2\)
\(=\left(x-2y-5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\ge2\)
Đẳng thức khó tìm quá huhu
\(x^2+5y^2+9z^2-4xy-6yz+12\)
\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2-6yz+9z^2\right)+12\)
\(=\left(x-2y\right)^2+\left(y-3z\right)^2+12\ge12\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2y=0\\y-3z=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2y\\y=3z\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6z\\y=3z\end{cases}}\)