với a,b,c >0 .CMR: \(\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{b^2+c^2}\ge2b\left(a+c\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
4 tháng 8 2020
Ta có BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\).
BĐT trên dễ dàng chứng minh được bằng cách sử dụng phép biến đổi tương đương.
Do đó: \(\left(\sum\sqrt{a^2+2bc}\right)^2\le3\left(\sum a^2+2\sum bc\right)=3\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\sum\sqrt{a^2+2bc}\le\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 1
Áp dụng BĐT Holder:
\(\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)^2\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\)
Mà:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (1)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}\le\sqrt{3\left(\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{b^2+c^2}{2}+\dfrac{c^2+a^2}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (2)
(1);(2) suy ra điều phải chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2}\ge b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\ge b^2\left(a+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^4\ge2b^2.ac\)
\(\Leftrightarrow\left(b^2-ac\right)^2\ge0\)
Do bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.
Dấu "=" xảy ra khi \(b^2=ac\)