Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 2xyz=x+y+z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TL
2
8 tháng 8 2016
\(x^2+y^2+z^2=2xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-y=0\\z=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\z=0\end{array}\right.\)
NT
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
4 tháng 7 2021
Do vai trò của \(x,y,z\)như nhau nên ta giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\).
Khi đó: \(2xyz=16+x+y+z\le16+3x\Rightarrow yz\le\frac{19}{2}\Rightarrow z^2\le\frac{19}{2}\Rightarrow z\le3\).
Với \(z=1\): \(2xy=17+x+y\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(2y-1\right)=35=1.35=5.7\)
suy ra \(\hept{\begin{cases}2x-1=35\\2y-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=18\\y=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}2x-1=7\\2y-1=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}}\).
Với \(z=2\): \(4xy=18+x+y\Leftrightarrow\left(4x-1\right)\left(4y-1\right)=73=1.73\)
suy ra \(\hept{\begin{cases}4x-1=73\\4y-1=1\end{cases}}\)(loại vì không có nghiệm nguyên)
Với \(z=3\): \(6xy=19+x+y\Leftrightarrow\left(6x-1\right)\left(6y-1\right)=115=1.115=5.23\)
suy ra \(\hept{\begin{cases}6x-1=115\\6y-1=1\end{cases}}\)không có nghiệm nguyên hoặc \(\hept{\begin{cases}6x-1=23\\6y-1=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}}\)(loại vì \(y< z\))
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(\left(18,1,1\right),\left(4,3,1\right)\)và các hoán vị.
NT
1
NT
0
TT
0
T
2
24 tháng 5 2017
Ta gọi phương trinh của x+Y=Z = XYZ LÀ (2) .Do vai trò bình đẳng của x,y,z trong phương trình, trước hết ta xét x bé hơn hoặc = y < hoặc = z
VÌ x,y,z nguyên dương nên xyz khác 0 , do x , hoặc = y ,học = z => xyz= x+y+z < hoặc = 3z => xy <3 => x thuộc {1;2;3}
Nếu xy=1 => x=y=1 . Thay vào (2) ta có : 2+z =z ( vô lý)
nẾU XY=2 , Do x < hoặc = y nên x=1,y=2 . tHAY VÀO (2) ta có ; z=3
NÊú xy =3 , do x , hoặc = y nên x=1, y=3. Thay vào (2) ta có , z=2
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1;2;3)
TK MK NHA!!
NV
1
Lời giải:
$2xyz=x+y+z$
$2=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}$
Không mất tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$
$\Rightarrow xy\geq xz\geq yz$
$\Rightarrow \frac{1}{xy}\leq \frac{1}{xz}\leq \frac{1}{yz}$
$\Rightarrow 2\leq \frac{3}{yz}$$
$\Rightarrow yz\leq \frac{3}{2}$. Mà $yz$ nguyên dương nên $yz=1$
$\Rightarrow y=z=1$. Thay vào pt ban đầu:
$2x=x+2$
$x=2$
Vậy $(x,y,z)=(2,1,1)$ và hoán vị.