Cho \(a,b,c,d>0\), \(a+b+c+d=2\)Tìm GTNN của
\(A=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcd}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 12 2017
Ta có với a,b,c,d là các số thực khác 0
\(\Rightarrow\frac{a-b+c+d}{b}=\frac{a+b-c+d}{c}=\frac{a+b+c-d}{d}=\frac{b+c+d-a}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a-b+c+d}{b}+1=\frac{a+b-c+d}{c}+1=\frac{a+b+c-d}{d}+1=\frac{b+c+d-a}{a}+1\)
\(\Rightarrow\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\Rightarrow\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)
Ta có M= \(\left(\frac{a+c+d}{b}\right)\left(\frac{a+b+d}{c}\right)\left(\frac{a+b+c}{d}\right)\left(\frac{b+c+d}{a}\right)\)
=> M= 3.3.3.3
=> M =81
S
11 tháng 12 2017
Áp dụng TC cuae DTSBN ta có:
a-b+c+d/b = a+b-c+d/c = a+b+c-d/d = b+c+d-a/a = \(\frac{a-b+c+d+a+b-c+d+a+b+c-d+b+c+d-a}{b+c+d+a}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)
=> a-b+c+d/b = 3 => a-b+c+d = 3b => a+c+d = 4b
a+b-c+d/c = 3 => a+b-c+d = 3c => a+b+d = 4c
a+b+c-d/d = 3 => a+b+c-d = 3d => a+b+c = 4d
b+c+d-a/a = 3 => b+c+d-a = 3a => b+c+d = 4a
=> M = \(\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b+d\right)\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)}{abcd}=\frac{4d.4c.4a.4b}{abcd}=\frac{256abcd}{abcd}=256\)
Vậy M = 256
7 tháng 12 2017
bài 1
ÁP dụng AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)
công tất cả lại ta có:
\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)
Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":
\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)
Vậy Min là \(1\)
dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
S
1
21 tháng 9 2015
Bài rất đẹp!
Ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0.\)
Từ giả thiết ta suy ra \(1=\left(a+b+c+d\right)^2\ge4\left(a+b+c\right)d\). Do vậy mà
Ta có \(M=\frac{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}{abcd}\ge\frac{4\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2}{abc}\ge\frac{4\left(a+b\right)\times4\left(a+b\right)c}{abc}=\frac{16\left(a+b\right)^2}{ab}\ge64.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a+b+c+d=1,d=a+b+c,c=a+b,a=b\to a=b=\frac{1}{8},c=\frac{1}{4},d=\frac{1}{2}.\)
Vậy giá trị bé nhất của \(M\) là \(64.\)
24 tháng 7 2019
b, \(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\); \(\frac{b+c}{b+c+a}>\frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c+d}{c+d+a}>\frac{c+d}{a+b+c+d};\frac{d+a}{a+d+b}>\frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Cộng các bĐT trên
=> \(B>\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)
Ta có Với \(0< \frac{x}{y}< 1\)
=> \(\frac{x}{y}< \frac{x+z}{y+z}\)
Áp dụng ta có
\(B>\frac{a+b+d}{a+b+c+d}+...+\frac{d+a+c}{a+b+c+d}=3\)
Vậy 2<B<3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 2 2021
\(\dfrac{1}{\left(1+\sqrt{ab}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+\sqrt{ab}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{b}{a}\right)}=\dfrac{1}{1+ab}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{\left(1+c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+d\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+cd}\)
\(\Rightarrow B\ge\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+cd}=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{ab}{1+ab}=1\)
\(B_{min}=1\) khi \(a=b=c=d=1\)
28 tháng 2 2021
Áp dụng BĐT phụ ta có:
\(B\ge\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+cd}=\dfrac{ab+cd+2}{1+ab+cd+abcd}=1\)
Vậy GTNN của B bằng 1 <=> a=b=c=d=1
\(4=\left(a+b+c+d\right)^2\ge4\left(a+b+c\right).d\)
\(\Rightarrow1\ge\left(a+b+c\right).d\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\left(a+b+c\right)^2d\ge4\left(a+b\right).c.d\)
\(\Rightarrow A=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}{abcd}\ge\frac{4\left(a+b\right)^2.cd}{abcd}\ge\frac{16ab.cd}{abcd}=16\)
Nên GTNN của A là 16 đạt được khi \(a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2};d=1\)