Question

[Tuấn Nguyễn]

 Chứng minh rằng:

x² + 5y² + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.

Answer 1

[OoO_Nhok_Lạnh_Lùng_OoO]

Nhóm các hạng tử để được bình phương ( Dùng hằng đẳng thức số 1 và 2 ) 
\(x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14\)
\(=\text{[}x^2+2x\left(1-2y\right)+\left(1-2y\right)^2\text{]}+y^2-6y+13\)
\(=\left(x+1-2y\right)^2+\left(y^2-2y\cdot3+9\right)+4\)
\(=\left(x+1-2y\right)^2+\left(y-3\right)^2+4\)

Ta có :

\(\left(x+1-2y\right)^2\ge0\)với mọi \(x,y\in R\)
và \(\left(y-3\right)^2\ge0\) với mọi \(y\in R\)
\(\Rightarrow\left(x+1-2y\right)^2+\left(y-3\right)^2+4\ge4\)với mọi \(x,y\in R\)
\(\Rightarrow\left(x+1-2y\right)^2+\left(y-3\right)^2+4>0\) với mọi \(x,y\in R\)

Answer 2

[Huỳnh Quang Sang]

\(x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14\)

\(=(x^2-4xy+4y^2)+2(x-2y)+1+(y^2-6y+9)+4\)

\(=(x-2y)^2+2(x-2y)+1+(y-3)^2+4\)

\(=(x-2y+1)^2+(y-3)^2+4>0\)

Vậy