Question

[Lê Anh Ngọc]

Cho đường tròn (O;R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau ( C thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh rằng:

a)MA.MB= MC. MD

b) Tứ giác ABEC là hình thang cân.

c)Tổng MA² + MB²+MC²+MD² có giá trị không đổi khi M thay đổi

Answer 1

[híp]

a) Xét ΔAMC và ΔDMB có:

góc ACD = góc ABD (góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

góc AMC = góc BMD = 90o (gt)

=> ΔAMC ∼ ΔDMB (g.g)

=> MA/MD = MC/MB => MA.MB = MC.MD

b) Vì góc DCE = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> CD ⊥ CE

Mà CD ⊥ AB (gt)

=> AB // CE

=> Tứ giác ABEC là hình thang (1).

Mặt khác: CE và AB là hai dây song song của đường tròn (O) chắn hai cung AC và BE nên \(\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{BE}\)

=> \(sd\stackrel\frown{AE}+sd\stackrel\frown{EC}=sd\stackrel\frown{BC}+sd\stackrel\frown{EC}\)

=>\(sd\stackrel\frown{AE}=sd\stackrel\frown{BC}\) => \(\widehat{ABE}=\widehat{CAB}\) (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

c, Vì \(\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{BE}\Rightarrow AC=BE\)

Ta có: góc DAE = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có: \(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2\)

\(=\left(MA^2+MD^2\right)+\left(MB^2+MC^2\right)\) (áp dụng pytago vào t/g MAD và MBC)

\(=AD^2+BC^2=AD^2+AE^2=DE^2=4R^2\) không đổi (pytago)

Answer 2

[híp]