Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau : a) \(\overrightarrow{a}=\left(2

1

AT

Anh Triêt

30 tháng 3 2017

a) cos( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = $\frac{2.6+ (-3).4}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}.\sqrt{6^{2}+4^{2}}}$ = 0

=> ( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = 90⁰

b) cos( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = $\frac{3.5+ 2(-1)}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}.\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}}}$ = $\frac{13}{\sqrt{13}.\sqrt{26}}$

=> ( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = 45⁰

c) cos( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = $\frac{(-2).3+ (-2\sqrt{3}).\sqrt{3}}{\sqrt{(-2)^{2}+(-2\sqrt{3})^{2}}.\sqrt{3^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}$ = $\frac{-\sqrt{3}}{2}$

=> ( $\vec{a}$ ; $\vec{b}$ ) = 150⁰

Đăng những câu khác đi em mỏi tay rồi

LF

Lightning Farron

30 tháng 3 2017

kéo thả chuột mà cũng kêu mỏi ?

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

24 tháng 9 2023

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow a = ( - 3;1),\;\overrightarrow b = (2;6)$

b) $\overrightarrow a = (3;1),\;\overrightarrow b = (2;4)$

c) $\overrightarrow a = ( - \sqrt 2 ;1),\;\overrightarrow b = (2; - \sqrt 2 )$

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

24 tháng 9 2023

a)

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = ( - 3).2 + 1.6 = 0$

$ \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ hay $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}$.

b)

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\\|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ;\;\,|\overrightarrow b |\, = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^o}\end{array}$

c) Dễ thấy: $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng phương do $\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{ - \sqrt 2 }}$

Hơn nữa: $\overrightarrow b = \left( {2; - \sqrt 2 } \right) = - \sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 ;1} \right) = - \sqrt 2 .\overrightarrow a \;$; $ - \sqrt 2 < 0$

Do đó: $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ ngược hướng.

$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}$

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+ $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}$: nếu $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$

+ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng phương:

$\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^o}$ nếu $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng hướng

$\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}$ nếu $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ ngược hướng

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\overrightarrow a = 3.\overrightarrow i - 2.\overrightarrow j ,$$\overrightarrow b = \left( {4; - 1} \right)$ và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow {MN} $ và $2\;\overrightarrow a - \overrightarrow b $.b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình...

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

24 tháng 9 2023

1

KS

Kiều Sơn Tùng

24 tháng 9 2023

Tham khảo:

a) Ta có: $\overrightarrow b = \left( {4; - 1} \right)$ và $\overrightarrow a = 3.\overrightarrow i - 2.\overrightarrow j \;\; \Rightarrow \;\overrightarrow a \;\left( {3; - 2} \right)$

$ \Rightarrow 2\;\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {2.3 - 4\;;\;2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {2; - 3} \right)$

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

$ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {3 - \left( { - 3} \right); - 3 - 6} \right) = \left( {6; - 9} \right)$

Dễ thấy:$\left( {6; - 9} \right) = 3.\left( {2; - 3} \right)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = 3\left( {2\;\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)$

b) Ta có: $\overrightarrow {OM} = \left( { - 3;6} \right)$ ( do M(-3; 6)) và $\overrightarrow {ON} = \left( {3; - 3} \right)$ (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{{ - 3}}{3} \ne \frac{6}{{ - 3}}$).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {PN} $.

Do $\overrightarrow {OM} = \left( { - 3;6} \right),\;\overrightarrow {PN} = \left( {3 - x; - 3 - y} \right)$ nên

$\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {PN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 3 - x\\6 = - 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 9\end{array} \right.$

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

26 tháng 9 2023

Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $trong các trường hợp sau

a) $\overrightarrow a = (2; - 3),\overrightarrow b = (6;4)$

b) $\overrightarrow a = (3;2),\overrightarrow b = (5; - 1)$

c) $\overrightarrow a = ( - 2; - 2\sqrt 3 ),\overrightarrow b = (3;\sqrt 3 )$

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

26 tháng 9 2023

a) $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2.6 + ( - 3).4}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {4^2}} }} = 0 \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b $

b) $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{3.5 + 2.( - 1)}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ $

c) $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right).3 + ( - 2\sqrt 3 ).\sqrt 3 }}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\sqrt 3 }^2}} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 150^\circ $

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy (Hình 18), cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {{x_1},{y_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2},{y_2}} \right)$a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ theo hai vectơ $\overrightarrow i $ và $\overrightarrow j $b) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v $,$\overrightarrow u - \overrightarrow v $,$k\overrightarrow u \left( {k \in \mathbb{R}} \right)$ theo hai vectơ...

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

28 tháng 9 2023

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

28 tháng 9 2023

a) Do $\overrightarrow u = \left( {{x_1},{y_1}} \right)$, $\overrightarrow v = \left( {{x_2},{y_2}} \right)$ nên $\overrightarrow u = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j .$, $\overrightarrow v = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j .$

b) +) $\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j } \right) + \left( {{x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {x_2}\overrightarrow i } \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j + {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} + {y_2}} \right)\overrightarrow j $

+) $\overrightarrow u - \overrightarrow v = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j } \right) - \left( {{x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1}\overrightarrow i - {x_2}\overrightarrow i } \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j - {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\overrightarrow j $

+) $k\overrightarrow u = \left( {k{x_1}} \right)\overrightarrow i + \left( {k{y_1}} \right)\overrightarrow j $

c) Tọa độ của các vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v $,$\overrightarrow u - \overrightarrow v $,$k\overrightarrow u \left( {k \in \mathbb{R}} \right)$lần lượt là:

$\left( {{x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2}} \right),\left( {{x_1} - {x_2};{y_1} - {y_2}} \right),\left( {k{x_1},k{y_1}} \right)$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-1; -2) và D (6;5).a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD} $b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD} $ cùng phương.c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {BE} $ cùng phương.d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow {AE} $...

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

24 tháng 9 2023

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

24 tháng 9 2023

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (3 - 1;4 - 2) = (2;2)$ và $\overrightarrow {CD} = (6 - ( - 1);5 - ( - 2)) = (7;7)$

b) Dễ thấy: $(2;2) = \frac{2}{7}.(7;7)$$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{7}.\overrightarrow {CD} $

Vậy hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD} $ cùng phương.

c) Ta có: $\overrightarrow {AC} = ( - 1 - 1; - 2 - 2) = ( - 2; - 4)$ và $\overrightarrow {BE} = (a - 3;1 - 4) = (a - 3; - 3)$

Để $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {BE} $ cùng phương thì $\frac{{a - 3}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 4}}$$ \Leftrightarrow a - 3 = - \frac{3}{2}$$ \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$

Vậy $a = \frac{3}{2}$ hay $E\left( {\frac{3}{2};1} \right)$ thì hai vectơ $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {BE} $ cùng phương

d)

Cách 1:

Ta có: $\overrightarrow {BE} = \left( {\frac{3}{2} - 3; - 3} \right) = \left( { - \frac{3}{2}; - 3} \right)$ ; $\overrightarrow {AC} = ( - 2; - 4)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {BE} = \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} $

Mà $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} $ (quy tắc cộng)

$ \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} $

Cách 2:

Giả sử $\overrightarrow {AE} = m\,.\,\overrightarrow {AB} + n\,.\,\overrightarrow {AC} $(*)

Ta có: $\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)$, $m\,.\,\overrightarrow {AB} = m\left( {2;2} \right) = (2m;2m)$, $n\,.\,\overrightarrow {AC} = n( - 2; - 4) = ( - 2n; - 4n)$

Do đó (*) $ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right) = (2m;2m) + ( - 2n; - 4n)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right) = (2m - 2n;2m - 4n)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} = 2m - 2n\\ - 1 = 2m - 4n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} $

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow u = (2; - 3),\;\overrightarrow v = (4;1),\;\overrightarrow a = (8; - 12)$a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v ,\;\overrightarrow a $ theo các vectơ $\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j $b) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow u + \;\overrightarrow v ,\;4.\;\overrightarrow u $c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow a...

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

24 tháng 9 2023

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

24 tháng 9 2023

a) Ta có: $\overrightarrow u = (2; - 3)$

$ \Rightarrow \overrightarrow u = 2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j $

Tương tự ta có: $\overrightarrow v = (4;1),\;\overrightarrow a = (8; - 12)$

$ \Rightarrow \overrightarrow v = 4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j ;\;\;\overrightarrow a = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j $

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = 2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow v = 4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j \end{array} \right.$(theo câu a)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = \left( {2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j } \right) + \left( {4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u = 4\left( {2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j } \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = \left( {2.\;\overrightarrow i + 4.\;\overrightarrow i } \right) + \left( {\left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u = 4.2.\;\overrightarrow i + 4.\left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = 6.\;\overrightarrow i + \left( { - 2} \right).\;\overrightarrow j \\4.\;\overrightarrow u = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\end{array}$

c) Vì $\left\{ \begin{array}{l}4.\;\overrightarrow u = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow a = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.$ nên ta suy ra $4.\;\overrightarrow u = \overrightarrow a $

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và vectơ $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ và $\overrightarrow u = \left( {b; - a} \right)$ khác vectơ 0. Cho biết $\overrightarrow u $ có giá song song hoặc trùng với $\Delta $.a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow n \overrightarrow {.u} $ và nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow u $b) Gọi \(M\left(...

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

26 tháng 9 2023

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

26 tháng 9 2023

a) Ta có $\overrightarrow n .\overrightarrow u = a.b + b.( - a) = 0$

Tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow u $có phương vuông góc với nhau

b) Vectơ $\overrightarrow {{M_0}M} $ có giá là đường thẳng $\Delta$

=> luôn cùng phương với vectơ $\overrightarrow u $

=> vectơ $\overrightarrow {{M_0}M} $ có phương vuông góc với vectơ $\overrightarrow n $

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2 , 5) , $\overrightarrow{b}$= (-1,4) , $\overrightarrow{c}$= (3,0)a, tìm toạ độ của các vecto sau $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ ,$\overrightarrow{b}$ - $\overrightarrow{c}$ , 5$\overrightarrow{a}$b, hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{a}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{b}$ ,$\overrightarrow{c}$c, cho x = ( 3m ; 2m +1 ) , tìm số m sao...

TT

Trần Thị Trà My

19 tháng 11 2021

0

SG

Sách Giáo Khoa

30 tháng 3 2017

Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-3;1\right)$ và vectơ $\overrightarrow{b}=\left(2;2\right)$. Hãy tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ ?