Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(C=\dfrac{9+2\sqrt{x}}{2+3\sqrt{x}}\Rightarrow2C+3C\sqrt{x}=9+2\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\left(3C-2\right)=9-2C\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{9-2C}{3C-2}\ge0\Rightarrow\dfrac{2}{3}< C\le\dfrac{9}{2}\)
Mà C nguyên \(\Rightarrow C=\left\{1;2;3;4\right\}\)
- Với \(C=1\Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{9-2C}{3C-2}=7\Rightarrow x=49\)
- Với \(C=2\Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{9-2.2}{3.2-2}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow x=\dfrac{25}{16}\)
... tương tự
C=9+2√x2+3√x⇒2C+3C√x=9+2√x
⇒√x(3C−2)=9−2C
⇒√x=9−2C3C−2≥0⇒23<C≤92
Mà C nguyên ⇒C={1;2;3;4}
- Với C=1⇒√x=9−2C3C−2=7⇒x=49
- Với C=2⇒√x=9−2.23.2−2=54⇒x=2516
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hi, thầy xin lỗi vì lúc chiều nhìn qua loa tưởng em thiếu giả thiết, không nhìn kĩ là em đã viết \(a,b,c\) nguyên. Tuy nhiên tác giả đã sai lầm khi chọn số \(\frac{1}{1000}\) vì nó làm bài toán này hơi tầm thường: Thực vậy, ta có thể chọn được giá trị của \(a,b,c\), ví dụ ta lấy \(a=14,b=-5,c=-4\to\left|a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\right|=14-5\sqrt{2}-4\sqrt{3}
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do abc khác 0 nên ta chia cả 2 vế của bđt cho abc. Ta được:
\(\sqrt{\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)}\ge1+\sqrt[3]{\left(1+\frac{bc}{a^2}\right)\left(a+\frac{ca}{b^2}\right)\left(1+\frac{ab}{c^2}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}}\ge1+\sqrt[3]{\left(1+\frac{bc}{a^2}\right)\left(1+\frac{ca}{b^2}\right)\left(1+\frac{ab}{c^2}\right)}\)
ĐẶT: \(x=\frac{bc}{a^2};y=\frac{ca}{b^2};z=\frac{ab}{c^2}\Rightarrow xyz=1\)
KHI ĐÓ TA CẦN CHỨNG MINH:
\(\sqrt{3+x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge1+\sqrt[3]{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3+x+y+z+xy+yz+zx}\ge1+\sqrt[3]{2+x+y+z+xy+yz+zx}\)
ĐẶT : \(t=\sqrt[3]{2+x+y+z+xy+yz+zx}\)
ÁP DỤNG BĐT AM-GM TA CÓ:
\(x+y+z+xy+yz+zx\ge6\sqrt[6]{xyz.xy.yz.zx}=6\) (DO xyz=1)
\(\Rightarrow t\ge\sqrt[3]{2+6}=2\)
VẬY BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ CHO TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI:
\(\sqrt{t^3+1}\ge1+t\Leftrightarrow t^3+1\ge t^2+2t+1\Leftrightarrow t^3-t^2-2t\ge0\Leftrightarrow t\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)
ĐÚNG VỚI : \(t\ge2\)
ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI a=b=c
\(\Rightarrow DPCM\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Bất đẳng thức đúng khi a = b = 2c
do đó \(\sqrt{c\left(2c-c\right)}+\sqrt{c\left(2c-c\right)}\le n\sqrt{2c.2c}\Leftrightarrow n\ge1\)
xảy ra khi n = 1
Thật vậy, ta có :
\(\sqrt{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}}+\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Vậy n nhỏ nhất là 1
b) Ta có : a + b = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\le\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}=\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Áp dụng, ta được : \(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(n+1\right)},\sqrt{2}+\sqrt{n-1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{n}+\sqrt{1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)};\sqrt{n-1}+\sqrt{2}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
do đó : \(4\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\right)\le2n\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\le n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)