PV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LN
2
9 tháng 8 2017
Ta có :
\(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}\)
\(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall b\ge0\Rightarrow b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)
ML
8 tháng 11 2015
\(bdt\Leftrightarrow\left(\frac{a^3+b^3}{2}\right)^2\ge\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^3\Leftrightarrow\frac{a^6+b^6+2a^3b^3}{4}\ge\frac{a^6+b^6+3a^4b^2+3a^2b^4}{8}\)
\(\Leftrightarrow a^6+b^6+4a^3b^3\ge3a^4b^2+3a^2b^4\)
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân:
\(a^6+a^3b^3+a^3b^3\ge3\sqrt[3]{a^6.\left(a^3b^3\right)^2}=3a^4b^2\)
\(b^6+a^3b^3+a^3b^3\ge3\sqrt[3]{b^6.\left(a^3b^3\right)^2}=3a^2b^4\)
Cộng 2 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm.
29 tháng 5 2016
Ta có : \(\sqrt{\text{a}-\sqrt{\text{b}}}\text{=}\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\) \(\left(b\ge0,a\ge\sqrt{b}\right)\)
Đặt \(x=\sqrt{a-\sqrt{b}}+\sqrt{a+\sqrt{b}}\) => \(x>0\Rightarrow x=\sqrt{x^2}\)
Ta có : \(x^2=2a+2\sqrt{a^2-b}=4\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\right)\)\(\Rightarrow x=2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\)
hay \(\sqrt{a-\sqrt{b}}+\sqrt{a+\sqrt{b}}=2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\)(1)
Đặt \(y=\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}\Rightarrow y>0\Rightarrow y=\sqrt{y^2}\)
Ta có ; \(y^2=2a-2\sqrt{a^2-b}=4\left(\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\right)\Rightarrow y=2\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)
hay \(\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}=2\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)(2)
Trử (1) và (2) theo vế ta được :
\(\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)(đpcm)
NA
1
18 tháng 8 2018
Ta có : \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( bình phương 2 vế )
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra khi : \(a=b\)
Vậy ...
Áp dụng BĐT căn trung bình bình phương ta có:
*BĐT này mk ko biết rõ tên nó viết cả ra :v, dạng tổng quát nó đây (kiểu AM-GM ấy)*
với a1;a2;...an ko âm thì \(\sqrt{\frac{a_1^2+b_1^2+....+a_n^2}{n}}\ge\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\)
\(VT=\sqrt{\frac{a+b}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}}{2}}\)
\(\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)