Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thôi rồi viết thiếu đề bài
abcd=1 nha các bạn ahihi
\(BDT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}++\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2}\)
Ta có hệ thức \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=1\) với \(abc=1\)
Và \(\left(a+1\right)^2+b^2+1=a^2+b^2+2a+2\ge2ab+2a+2=2\left(ab+a+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}\le\frac{1}{2\left(ab+a+1\right)}\). TƯơng tự cũng co:
\(\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}\le\frac{1}{2\left(bc+b+1\right)};\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2\left(ca+c+1\right)}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{1}{2\left(ab+a+1\right)}+\frac{1}{2\left(bc+b+1\right)}+\frac{1}{2\left(ca+c+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)=\frac{1}{2}\)
Xảy ra khi a=b=c=1
Mấy bài you đăng đào mộ đâu ra thế :v, toàn bài t làm rồi nhai lại hoài chán chết :v
Ta có:
\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow abc^2+ab^2c+a^2bc-ab-bc-ca=0\left(1\right)\)
Ta cần chứng minh
\(b\left(a^2-bc\right)\left(1-ac\right)=a\left(1-bc\right)\left(b^2-ac\right)\)
\(\Leftrightarrow ab^2c^2-a^2bc^2+ab^3c-b^2c-a^3bc+a^2c-ab^2+a^2b=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(abc^2+ab^2c-bc-ab\right)-a^2bc^2-a^3bc+a^2c+a^2b=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(ac-a^2bc\right)-a^2bc^2-a^3bc+a^2c+a^2b=0\)
\(\Leftrightarrow-a\left(ab^2c+abc^2+a^2bc-bc-ac-ab\right)=0\)(theo (1) thì đúng)
\(\RightarrowĐPCM\)
1) \(M=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
Em chú ý bài toán sau nhé: Nếu a+b+c=0 <=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
CM: có:a+b=-c <=> \(\left(a+b\right)^3=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
Chú ý: a+b=-c nên \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Do \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
Thay vào biểu thwusc M ta được M=3abc (ĐPCM)
2, em có thể tham khảo trong sách Nâng cao phát triển toán 8 nhé, anh nhớ không nhầm thì bài này trong đó
Nếu không thấy thì em có thể quy đồng lên mà rút gọn
Đặt \(\left(\frac{a}{a-1};\frac{b}{b-1};\frac{c}{c-1}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) thì có
\(xyz=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+xz+1-\left(x+y+z\right)=0\)
Và BĐT cần chứng minh là \(x^2+y^2+z^2\ge1\)
Đúng vì \(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)-2\left(x+y+z\right)+2\)
\(=\left(x+y+z-1\right)^2+1\ge1\)
Vậy ta có ĐPCM
cho hỏi cái dấu bằng