![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(F=a^2+ab+b^2-3a-3b+3\)
\(=\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(ab-a-b+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)\left(b-1\right)\)
\(=\left[\left(a-1\right)^2+\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\frac{1}{4}\left(b-1\right)^2\right]+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\)
\(=\left[\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\left(b-1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\)
Ta thấy \(\left[\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\left(b-1\right)\right]^2\ge0\) và \(\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\ge0\) với mọi a;b
Nên \(A=\left[\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\left(b-1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2\ge0\forall a;b\) có GTNN là 0
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
\(4F=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+12\)
\(=\left(4a^2+b^2+4+4ab-12a-6b\right)+\left(3b^2-6b+3\right)\)
\(=\left(2a+b-2\right)^2+3\left(b-1\right)^2\)
vì \(\left(2a+b-2\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(3\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)
\(\Rightarrow4F\ge0\forall a,b\Rightarrow F\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow GTNN\)của F là 0 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b-1=0\\2a+b-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=1\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Với các bài toán tìm max, min 2 biến kiểu như thế này, em hay cố gắng nhân M lên n lần để tạo thêm được các số hạng, sang đó ghép tạo thành các bình phương.
Cách làm như sau:
\(4M=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8004\)
\(=\left(4a^2+4ab+b^2\right)-6\left(2a+b\right)+3\left(b^2-2b\right)+8004\)
\(=\left(2a+b\right)^2-6\left(2a+b\right)+9+3\left(b^2-2b+1\right)+7992\)
\(=\left(2a+b-3\right)^2+3\left(b-1\right)^2+7992\ge7992\)
Vậy 4M min = 7992, vây M min = 1998.
Vậy min M = 1998 khi \(\hept{\begin{cases}b-1=0\\2a+b-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=1\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{9}{4}+ab-3a-\frac{3}{2}b\right)+\frac{3}{4}\left(b^2-2b+1\right)-\frac{9}{4}-\frac{3}{4}+2013\\ \)
\(\left(a+\frac{b-3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2+2013-3\)
GTNN=2010
Khi b=1 và a= 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100903224130AAhmqxW
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3.3=9\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Phân tích và áp dụng BĐT AM-GM:
\(\dfrac{1+3a}{1+b^2}=\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{3a}{1+b^2}=\left(1-\dfrac{b^2}{1+b^2}\right)+\left(3a-\dfrac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\left(1-\dfrac{b^2}{2b}\right)+\left(3a-\dfrac{3ab^2}{2b}\right)=\left(1-\dfrac{b}{2}\right)+\left(3a-\dfrac{3}{2}ab\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1+3b}{1+c^2}\ge\left(1-\dfrac{c}{2}\right)+\left(3b-\dfrac{3}{2}bc\right)\)
\(\dfrac{1+3c}{1+a^2}\ge\left(1-\dfrac{a}{2}\right)+\left(3c-\dfrac{3}{2}ca\right)\)
Cộng các vế của các BĐT ta được:
\(P\ge3-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)=3+\dfrac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}.3\ge3+\dfrac{5}{2}.3-\dfrac{9}{2}=6\)
\(P=6\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(P_{min}=6\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
GTNN = -10
cách làm
M = ...
= 2(a2+b2)+a2+b2+c2
= 2(a2+b2)+(a+b+c)2-2(ab+bc+ac) (1)
mà ab+bc+ac=5
=> (1) = 2(a2+b2)+(a+b+c)2-10
có a2 và b2 \(\ge\) 0
2 >0
(a+b+c)2 \(\ge\) 0
=> (1) \(\ge\) -10
=> M min = -10
hơi sơ sài nhỉ, ko hiểu thì hỏi, tôi chỉ cho
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-0-thoa-man-abbcca3-tim-gia-tri-nho-nhat-cua-pdfrac13a1b2dfrac13b1c2dfrac13c1a2.6181078378966
Lời giải:
Gọi biểu thức trên là $A$
$4A=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8064$
$=(4a^2+4ab+b^2)+3b^2-12a-12b+8064$
$=(2a+b)^2-6(2a+b)+(3b^2-6b)+8064$
$=(2a+b)^2-6(2a+b)+9+3(b^2-2b+1)+8052$
$=(2a+b-3)^2+3(b-1)^2+8052\geq 8052$
$\Rightarrow A\geq 2013$
Vậy $A_{\min}=2013$