AS
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AS
0
KT
29 tháng 4 2018
C/m BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (*) (x,y dương)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (BĐT đã đc chứng minh)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
ÁP dụng BĐT (*) ta có:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\) (1)
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{p-b+p-c}=\frac{4}{2p-\left(b+c\right)}=\frac{4}{a}\) (2)
\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{p-c+p-a}=\frac{4}{2p-\left(c+a\right)}=\frac{4}{b}\) (3)
Lấy (1); (2); (3) cộng theo vế ta được:
\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Khi đó \(\Delta ABC\)là tam giác đều
10 tháng 2 2021
Xét hiệu VT - VP
\(\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ab+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{a^2+ab-bc-a^2}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{b^2+bc-ac-b^2}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{c^2+ac-ab-c^2}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}\)
Do a,b,c bình đẳng nên giả sử a\(\ge\)b\(\ge\)c, khi đó \(b\left(a-c\right)\)\(\ge\)0, c(b-a)\(\le\)0, a(c-b)\(\le\)0
\(a^3\ge b^3\ge c^3=>abc+a^3\ge abc+b^3\ge abc+c^3\)=>\(\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}\le\dfrac{b\left(a-c\right)}{b\left(ac+b^2\right)}\)
=> VT -VP \(\le\) \(\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{ab-ac}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{ac-ab}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{a\left(b-c\right)}{b\left(ac+b^2\right)}-\dfrac{a\left(b-c\right)}{c\left(ab+c^2\right)}\)
mà \(\dfrac{1}{b\left(ac+b^2\right)}\le\dfrac{1}{c\left(ab+c^2\right)}\) nên VT-VP <0 đpcm
10 tháng 3 2021
Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-ab\ge ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}\le\dfrac{1}{ab}=\dfrac{abc}{ab}=c\) ( do $abc=1$ )
Tương tự ta có :
\(\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}\le a\)
\(\dfrac{1}{c^2-ab+a^2}\le b\)
Cộng vế với vế các BĐT trên có :
\(\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ac+a^2}\le a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 3 2021
\(VT=\dfrac{1}{a^2+b^2-ab}+\dfrac{1}{b^2+c^2-bc}+\dfrac{1}{c^2+a^2-ca}\)
\(VT\le\dfrac{1}{2ab-ab}+\dfrac{1}{2bc-bc}+\dfrac{1}{2ca-ca}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
MA
0
KV
6 tháng 5 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào biểu thức \(1+\dfrac{a}{b}\), ta có:
\(1+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào biểu thức \(1+\dfrac{b}{c}\), ta có:
\(1+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\) (2)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào biểu thức \(1+\dfrac{c}{a}\), ta có:
\(1+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) (3)
Từ (1), (2) và (3)
\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}}.2\sqrt{\dfrac{b}{c}}.2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\)\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\ge8\) (vì \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}.\sqrt{\dfrac{b}{c}}.\sqrt{\dfrac{c}{a}}=1\))
KV
6 tháng 5 2021
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Khi đó tam giác đã cho là tam giác đều
TT
2
14 tháng 3 2018
Do: \(a^2+b^2+c^2=1\text{ nen }a^2\le1,b^2\le1,c^2\le1\)
\(\Rightarrow a\ge-1;b\ge-1;c\ge-1\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge0\)
Cần C/m:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
Ta có:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca+abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+1\right)^2\ge0\left(\text{luon dung}\right)\)
=> ĐPCM