Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với a>0,b>0a>0,b>0 ta luôn có a+b≥2ab−−√a+b≥2ab
M = x2+y2xy=xy+yx=3xy+(x4y+yx)x2+y2xy=xy+yx=3xy+(x4y+yx)
Ta có: (x4y+yx)≥2x4y⋅yx−−−−−−√=1(x4y+yx)≥2x4y⋅yx=1
Mặt khác: x≥2yx≥2y ⇒3x4y≥32⇒3x4y≥32
Do đó M≥52M≥52 . Dâu ''='' xảy ra khi x=2yx=2y
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 5252 ⇔x=2y
a/ \(\frac{18}{x}+\frac{x}{2}\ge2\sqrt{\frac{18}{x}.\frac{x}{2}}=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{18}{x}=\frac{x}{2}\Rightarrow x=6\)
b/
\(P=\frac{9}{y}+\frac{18}{x}+\frac{x}{6}-\frac{5y}{12}+2018\)
\(P=\frac{9}{y}+\frac{y}{4}+\frac{18}{x}+\frac{x}{2}-\frac{1}{3}\left(x+2y\right)+2018\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{9}{y}.\frac{y}{4}}+2\sqrt{\frac{18}{x}.\frac{x}{2}}-\frac{1}{3}.18+2018\)
\(P\ge2021\)
\(\Rightarrow P_{min}=2021\) khi \(x=y=6\)
\(P=\frac{9}{y}+\frac{18}{x}+\frac{x}{6}-\frac{5y}{12}+2018=\left(\frac{18}{x}+\frac{x}{2}\right)+\left(\frac{9}{y}+\frac{y}{4}\right)-\frac{x}{3}-\frac{2y}{3}+2018\)
Lập luận : Áp dụng BTĐ Cô si cho : \(\frac{18}{x};\frac{x}{2}>0\)(với x > 0):
\(\frac{18}{x}+\frac{x}{2}\ge2\sqrt{\frac{18}{x}.\frac{x}{2}}\Leftrightarrow\frac{18}{x}+\frac{x}{2}\ge6\)
Lập luận tương tự : Áp dụng BĐT Cô si cho : \(\frac{9}{y};\frac{y}{4}>0\)(y > 0 )
\(\frac{9}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{9}{y}.\frac{y}{4}}\Leftrightarrow\frac{9}{y}+\frac{y}{4}\ge3\)
Và \(\frac{x}{3}-\frac{2y}{3}=\frac{x+2y}{3}\ge\frac{18}{3}\)(Do x + 2y \(\le\)18)
\(\Rightarrow P=\left(\frac{18}{x}+\frac{x}{2}\right)+\left(\frac{9}{y}+\frac{y}{4}\right)-\frac{x}{3}-\frac{2y}{3}+2018\ge6-3-\frac{18}{3}+2018=2021\)
Vậy \(P=2021\)Khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\frac{18}{x}=\frac{x}{2};\frac{9}{y}=\frac{y}{4}\\x+2y< 18;x,y>0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=6\\y=6\end{cases}}\)
hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn
\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~
\(\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\)
= \(\frac{1}{x^2+y^2+y^2+1+2}+\frac{1}{y^2+z^2+z^2+1+2}+\frac{1}{z^2+x^2+x^2+1+2}\)
\(\le\frac{1}{2xy+2y+2}+\frac{1}{2yz+2z+2}+\frac{1}{2zx+2x+2}\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{xyzx+yzx+zx}+\frac{x}{yzx+zx+x}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{x+1+zx}+\frac{x}{1+zx+x}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
= 1/2
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =z =1
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+1\ge2y\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2xy+2y+2}}\)
Tương tự ta cũng có
\(\frac{1}{y^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2yz+2z+2};\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2xz+2x+2}\)
Do đó ta có:\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
Mặt khác, do xyz=1 nên ta có:
\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{y}{xy+y+1}+\frac{xy}{xy+y+1}\)
\(=\frac{xy+y+1}{xy+y+1}=1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
\(\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2x^2+2y^2+2z^2+8xy+8yz+8xz}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
Xét \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế:
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow8\left(xy+yz+xz\right)\le8\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\ge\frac{1}{30}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{30}\)
Vì \(\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{1}{30}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\ge\frac{1}{30}\) ( đpcm )
chịu chết
check lại đề phát bạn; chẳng lẽ người ra đề lại rảnh đến mức cho 2017, 2018, 2/3 đứng 3 nơi như vậy.
bạn tách phân thức ấy ra rồi dùng bđt cô-si nhé ( nếu đề không sai )