Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta thấy
72
=
2
3
.
3
2
72=2
3
.3
2
nên a, b có dạng
{
�
=
2
�
3
�
�
=
2
�
.
3
�
{
a=2
x
3
y
b=2
z
.3
t
với
�
,
�
,
�
,
�
∈
N
x,y,z,t∈N và
�
�
�
{
�
,
�
}
=
3
;
�
�
�
{
�
,
�
}
=
2
max{x,z}=3;max{y,t}=2.
Theo đề bài, ta có
2
�
.
3
�
+
2
�
.
3
�
=
42
2
x
.3
y
+2
z
.3
t
=42
⇔
2
�
−
1
.
3
�
−
1
+
2
�
−
1
3
�
−
1
=
7
⇔2
x−1
.3
y−1
+2
z−1
3
t−1
=7 (*), do đó
�
,
�
,
�
,
�
≥
1
x,y,z,t≥1
TH1:
�
≥
�
,
�
≤
�
x≥z,y≤t. Khi đó
�
=
3
,
�
=
2
x=3,t=2. (*) thành:
4.
3
�
−
1
+
3.
2
�
−
1
=
7
4.3
y−1
+3.2
z−1
=7
⇔
�
=
�
=
1
⇔y=z=1
Vậy
{
�
=
24
�
=
18
{
a=24
b=18
(nhận)
TH2: KMTQ thì giả sử
�
≥
�
,
�
≥
�
x≥z,y≥t. Khi đó
�
=
3
,
�
=
2
x=3,z=2. (*) thành
4.
3
�
−
1
+
2.
3
�
−
1
=
7
4.3
y−1
+2.3
t−1
=7, điều này là vô lí.
Vậy
(
�
,
�
)
=
(
24
,
18
)
(a,b)=(24,18) hay
(
18
,
24
)
(18,24) là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.
Cho ba số thực dương x;y;z thoả mãn \(5\left(x+y+z\right)^2\ge14\left(x^2+y^2+z^2\right)\) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nh... - Hoc24
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{64}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{64}{3}\) khi \(x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+1;b+1;c+1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a;b;c\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1\)
\(P=\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(c+1\right)^2\)
\(P=a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)+3=a^2+b^2+c^2+5\le1+5=6\)
\(P_{max}=6\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\) và hoán vị
Lời giải:
Tìm min:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12$
Vậy $A_{\min}=12$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=2$
--------------
Tìm max:
$A=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=36-2(xy+yz+xz)$
Vì $x,y,z\geq 0\Rightarrow xy+yz+xz\geq 0$
$\Rightarrow A=36-2(xy+yz+xz)\leq 36$
Vậy $A_{\max}=36$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(0,0,6)$ và hoán vị.
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2
GTNN của x^2 + y^2 + z^2 là 12 tại x = y = z = 2