K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
BH
1
CT
18 tháng 8 2021
ta có a+c>b suy ra (a+b+c)^2>4b^2 suy ra (a+b+c)^2+(a-b+c)^2>(a+b+c)^2>4b^2
TK
1
MN
2
T
27 tháng 1 2019
Dùng BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) nhé! Một dòng là đủ.
\(\frac{1}{\left(4a^2+4b^2\right)}+\frac{1}{8ab}\ge\frac{4}{4a^2+8ab+4b^2}==\frac{4}{4\left(a^2+2ab+a^2\right)}=\frac{1}{\left(a+b\right)^2}^{\left(đpcm\right)}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 5 2020
\(\Leftrightarrow\frac{9}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{a^2+4b^2+c^2}+\frac{9}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{9}{2}\)
Thật vậy, ta có:
\(\frac{9}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\)
Tương tự: \(\frac{9}{a^2+4b^2+c^2}\le\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{2b^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}\) ; \(\frac{9}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{2c^2}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
9 tháng 4 2017
dạng này chắc chắc là phải dùng AM-GM ngược dấu rồi :)
Ta có:
\(\dfrac{1+b}{1+4a^2}=1+b-\dfrac{4a^2\left(b+1\right)}{4a^2+1}\ge1+b-\dfrac{4a^2\left(b+1\right)}{4a}=1+b-a\left(b+1\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\dfrac{1+c}{1+4b^2}\ge1+c-b\left(c+1\right);\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge1+a-c\left(a+1\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+c^2}\)
\(\ge3+\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)\)
\(=3-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
KK
9 tháng 4 2017
\(VT=\left(\dfrac{a}{1+4c^2}+\dfrac{b}{1+4a^2}+\dfrac{c}{1+4b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+4c^2}+\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}\right)\)
\(VT=\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)+3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\)
Xét \(\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2a}{4c}=ca\\\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\\\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2c}{4b}=bc\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)\) (1)
Xét \(3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2}{4c}=c\\\dfrac{4a^2}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2}{4a}=a\\\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2}{4b}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\) (3)
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow3-\dfrac{3}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)\) (4)
Từ (3) và (4)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}\) (đpcm)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)