Question

[Bạch Dạ Y]

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x+2y+3xy=3 . Biết rằng biểu thức P=x+y đạt giá trị nhỏ nhất khi (x;y)=(x₀;y₀) . Tính S=3x₀ + 6y₀

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

\(x+y\left(2+3x\right)=3\Leftrightarrow y=\frac{3-x}{2+3x}\)

\(\Rightarrow P=x+y=x+\frac{3-x}{2+3x}=\frac{3x^2+x+3}{2+3x}\)

\(\Leftrightarrow3x^2+\left(1-3P\right)x+3-2P=0\left(1\right)\)

Phương trình (1) có nghiệm dương \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3P-1>0\\3-2P>0\\\Delta=9P^2+18P-35\ge0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}P>\frac{1}{3}\\P< \frac{3}{2}\\P\ge\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\left(h\right)P\le\frac{-3-2\sqrt{11}}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\le P< \frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=x_0=\frac{3P-1}{6}=\frac{-2+\sqrt{11}}{3};y=y_0=\frac{-1+\sqrt{11}}{3}\)

Vậy \(S=3x_0+6y_0=-4+3\sqrt{11}\)