Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Sử dụng bổ đề: Với \(a,b>0\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
BĐT đúng vì nó tương đương với \((a-b)^2(a+b)\geq 0\) (luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(P\leq \frac{1}{x^3yz(y+z)+1}+\frac{1}{y^3xz(x+z)+1}+\frac{1}{z^3xy(x+y)+1}\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{x^2(y+z)+xyz}+\frac{1}{y^2(x+z)+xyz}+\frac{1}{z^2(x+y)+xyz}\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{x(xy+yz+xz)}+\frac{1}{y(xy+yz+xz)}+\frac{1}{z(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{xy+yz+xz}=1\)
Vậy \(P_{\max}=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
1. Theo BĐT AM - GM, ta có:
\(\Sigma\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}=\Sigma\dfrac{1}{\left\{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\right\}^2}\le\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta C/m được
\(\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Nhưng điều này đúng vì \(xy+yz+zx\ge\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\) và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
( Còn bài 2 để suy nghĩ rồi tối đăng cho nha )
Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương \(\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\)
\(\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)\)
\(\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\) ta được :
\(P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\)
\(\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)\)
Ta có: \(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2zx}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2zx+yz+2xy+zx+2yz}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Mà ta lại có: \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1^2}{3.1}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
tìm trên Google có đó bạn