K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

22 tháng 3 2021

hình bạn tự vẽ nha :

a.Ta có:

APM^=AHM^=AQM^=90o

→A,P,H,M,Q∈ đường tròn đường kính  AM

b.Từ câu a →A,P,H,M,Q∈(O,12AM)

→OP=OH=OM=OQ

Mà ΔABC đều, AH⊥BC→BAH^=HAC^=30o

→HOQ^=2HAQ^=60o,POH^=2PAH^=60o

Do OP=OH,OH=OQ

→ΔOPH,ΔOHQ đều

→PH=OP=OQ=QH

→OPHQ là hình thoi

21 tháng 2 2022

a) Có \widehat{APM}=\widehat{AHM}=\widehat{AQM}=90^o nên 5 điểm A, P, M, H, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AM.
b) Vì AH là đường cao của tam giác đều ABC nên \widehat{BAH}=\widehat{HAC}=30^o.

Vì A, P, M, H, Q cùng nằm trên đường tròn tâm O nên OP = OH = OQ = OM và \widehat{POH}=2\widehat{PAH}=60^o ; \widehat{QOH}=60^o suy ra OPH và OQH là hai tam giác đều, do đó OQHP là hình thoi.

c) Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác APMHQ thì AM = 2r và OPH, OQH là hai tam giác đều cạnh r. Do đó PQ=2.\dfrac{r\sqrt{3}}{2}=AM.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ge AH.\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Do đó PQ ngắn nhất khi và chỉ khi M là trung điểm BC.

                   
NV
21 tháng 4 2023

a. Em tự giải

b. Do tam giác ABC đều và AH là đường cao \(\Rightarrow AH\) đồng thời là phân giác góc A

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}=\dfrac{1}{2}.60^0=30^0\)

AEMHF nội tiếp đường tròn tâm O \(\Rightarrow\widehat{HOF}=2.\widehat{CAH}=60^0\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung HF)

Mà \(OH=OF\) (cùng là bán kính) \(\Rightarrow\Delta OHF\) đều (tam giác cân có 1 góc 60 độ)

Tương tự ta có  \(\widehat{HOE}=60^0\Rightarrow\Delta OHE\) đều

\(\Rightarrow OE=OF=HE=HF\Rightarrow OEHF\) là hình thoi

c.

Gọi D là trung điểm AH \(\Rightarrow OD\perp AH\) \(\Rightarrow OH\ge DH\Rightarrow OH\ge\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow OH\ge\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Gọi I là giao điểm EF và OH \(\Rightarrow I\) là tâm hình thoi OEHF

\(S_{OEHF}=2S_{OHE}=2EI.OH=2\sqrt{OE^2-OI^2}.OH\)

\(=2OH.\sqrt{OH^2-\left(\dfrac{OH}{2}\right)^2}=OH^2\sqrt{3}\ge\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2.\sqrt{3}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(OH=DH\Leftrightarrow O\) trùng D

\(\Rightarrow M\) trùng H

NV
21 tháng 4 2023

loading...

10 tháng 6 2015

A) MP vuông góc AB tại P => góc MPA=90; MQ vuông góc AC tại Q=> MQA=90

=> tg APMQ nội tiếp(tổng 2 góc đối =90)

b) diện tích tam giác AMB=1/2.MP.AB=1/2.MP.BC; diện tích tam giác AMC=1/2.MQ.AC=1/2.MP.BC( AB=BC=CA tam giác đều)

S tam giác ABC=1/2.AH.BC

ta có: S AMB+S AMC=S ABC  <=> \(\frac{1}{2}.MP.BC+\frac{1}{2}MQ.BC=\frac{1}{2}AH.BC\Leftrightarrow\frac{1}{2}BC\left(MP+MQ\right)=\frac{1}{2}.BC.AH\)

=> MP+MQ=AH

c) góc AHM=90(AH là đường cao)=> H cũng thuộc đường tròn đường kính AM <=> ngũ giác APMQH nội tiếp

(O): góc HAQ=1/2 góc HOQ(góc nt và góc ở tâm)

tam giác AHC vuông => góc HAC=90-C=90-60=30 độ hay HAQ=30(góc C=60 vì tam giác đều)

=> góc HOQ=2.30=60 . 

(O): góc PAQ=1/2 góc POQ(góc nt và góc ở tâm) <=> góc POQ=2.60=120( góc PAQ hay BAC=60- tam giác đều)

góc HOQ=60 => OH là pg của góc POQ.

tam giác POQ có: OP=OQ=R=> tam giác cân => OH đồng thời là đường cao => OH vuông góc PQ

10 tháng 6 2020

câu a , tổng hai góc đối là 180 độ nhé bạn

22 tháng 11 2022

1: Xét tứ giác APMQ có góc APM+góc AQM=180 độ

nên APMQ là tứ giác nội tiếp(1)

Xét tứ giác AHMP có góc AHM+góc APM=180 độ

nên AHMP là tứ giác nội tiếp(2)

Từ (1), (2) suy ra A,P,M,Q,H cùng thuộc 1 đường tròn

2:

Sửa đề: OH vuông góc với PQ

Xét (O) có

góc PAQ là góc nội tiếp chắn cung PQ

nên góc PAQ=1/2*góc POQ

=>góc POQ=120 độ

=>góc POH=góc QOH=60 độ

=>ΔPOH đều, ΔHOQ đều

=>OH là phân giác

=>OH vuông góc với PQ

=>OP=OH=PH=OQ=QH

=>OPHQ là hình thoi

15 tháng 7 2018

a. Các góc APH, góc AQM = 9o độ nên các điểm A,P,Q, M thuộc đường tròn tâm O đường kính AM 
b. ^AHM = 90 độ nên H trên (O) . Xét hai tg PBH và tg MBA có ^PBH chung ^BPH = ^AMB(cùng bù ^APH) nên tg PBH đồng dạng tg MBA nên có : BP.BA = BH.BM 
c. Tg ABC đều có AH trung tuyến nên AH phân giác suy ra ^PAH = ^CAQ = ^QAH nên cung PH = cung HQ nên OH là bán kính qua điểm chính giửa của cung nên qua trung điểm của dây PQ vậy OH vuông góc PQ. 
d.Có PQ > AC nmaf AC > AH nên PQ >AH