Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{5}{x}+\frac{4}{x+1}=\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x+3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{5\left(x+1\right)+4x}{x\left(x+1\right)}=\frac{3\left(x+3\right)+2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{5x+5+4x}{x^2+x}=\frac{3x+9+2x+4}{x^2+5x+6}\)
\(\Leftrightarrow\frac{9x+5}{x^2+x}=\frac{5x+13}{x^2+5x+6}\)
\(\Leftrightarrow\left(9x+5\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(5x+13\right)\left(x^2+x\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^3+45x^2+54x+5x^2+25x+30=5x^3+5x^2+13x^2+13x\)
\(\Leftrightarrow9x^3+50x^2+79x+30=5x^3+18x^2+13x\)
\(\Leftrightarrow9x^3-5x^3+50x^2-18x^2+79x-13x+30=0\)
\(\Leftrightarrow4x^3+32x^2+66x+30=0\)
\(\Leftrightarrow2x^3+16x^2+33x+15=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+2,3660\right)\left(x+0,6340\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x\approx2,3660\end{cases}or_{ }x\approx0,6340}\)
a) \(4\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}< 2x+\frac{1}{2x}+2\)
hay \(2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}< x+\frac{1}{4x}+1\)
\(\Leftrightarrow0< x+\frac{1}{4x}+1-2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow0< \left(\sqrt{x}\right)^2-2\sqrt{x}-2\sqrt{x}\cdot1+1+\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)^2}-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow1< \left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\right)^2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\\sqrt{x}>1\\2\sqrt{x}>1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x>\frac{1}{4}\end{cases}\Rightarrow}x>1}\)
b) \(\frac{1}{1-x^2}>\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}-1\left(1\right)\left(ĐK:-1< x< 1\right)\)
Ta có (1) <=> \(\frac{1}{1-x^2}-1-\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}+2>0\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{1-x^2}-\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}+2>0\)
Đặt \(t=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)ta được
\(t^2-3t+2>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}< 1\\\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}>2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{1-x^2}>x\left(a\right)\\2\sqrt{1-x^2}< x\left(b\right)\end{cases}}}\)
(a) <=> \(\hept{\begin{cases}x< 0\\1-x^2>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\1-x^2>x^2\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow-1< x< 0\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x^2< \frac{1}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow-1< x< 0\)hoặc \(0\le x\le\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow-1< x< \frac{\sqrt{2}}{2}\)
(b) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1-x^2>0\\x>0\\4\left(1-x^2\right)< x^2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}0< x< 1\\x^2>\frac{4}{5}\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{2}{\sqrt{5}}< x< 1}\)
Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.
4)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)
Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:
Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đây là điều hiển nhiên.
a/ ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{2\left(x^2-1\right)}+\frac{3}{x^2-1}=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+7}{x^2-1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2x+14=x^2-1\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-15=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\)
b/ ĐKXĐ: ...
Đặt \(\frac{x-1}{x}=a\)
\(a-\frac{3}{2a}=-\frac{5}{2}\Leftrightarrow2a^2+5a-3=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-3\\a=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{x-1}{x}=-3\\\frac{x-1}{x}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
c/ ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+2\right)\left(2x+3\right)-\left(2x-3\right)}{4x^2-9}=\frac{4x^2-9-\left(2x^2-x-4\right)}{4x^2-9}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+5x+9=2x^2+x-5\)
\(\Leftrightarrow4x=-14\Rightarrow x=-\frac{7}{2}\)