Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :
(a2+3)(b2+ 3)( c2+ 3) >= 4( a+ b+ c+1)2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TH
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
TT
6 tháng 8 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
\(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng:
\(\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\le\sqrt{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi lần thứ hai ta nhận được:
\(VT=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a\left(1+b+c\right)}+\sqrt{b}\sqrt{b\left(1+c+a\right)}+\sqrt{c}\sqrt{c\left(1+a+b\right)}}{a+b+c}\)
\(\le\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left[a\left(1+b+c\right)+b\left(1+c+a\right)+c\left(1+a+b\right)\right]}}{a+b+c}\)
\(=\sqrt{1+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}}\)
\(\le\sqrt{1+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}}\)
\(\le\sqrt{1+\frac{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}=\sqrt{3}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
CM
22 tháng 6 2018
Ta chứng minh BĐT
( a + b + c ) ( 1 a + 1 b + 1 c ) ≥ 9 ( * ) ( * ) < = > 3 + ( a b + b a ) + ( b c + c b ) + ( c a + a c ) ≥ 9
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:
a b + b a ≥ 2 b c + c b ≥ 2 c a + a c ≥ 2 =>(*) đúng
= > 9 a + b + c ≤ 1 a + 1 b + 1 c ≤ 3 = > a + b + c ≥ 3
Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có 1 + b 2 ≥ 2 b
Ta có: a 1 + b 2 = a − a b 2 1 + b 2 ≥ a − a b 2 2 b = a − a b 2 ( 1 )
Tương tự ta có:
b 1 + c 2 ≥ b − b c 2 ( 2 ) c 1 + a 2 ≥ c − c a 2 ( 3 )
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:
a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 ≥ a + b + c − 1 2 ( a b + b c + c a ) = > a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 + 1 2 ( a b + b c + c a ) ≥ a + b + c ≥ 3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{a^2}{2}+8b^2\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{2}.8b^2}=4ab$
$\frac{a^2}{2}+8c^2\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{2}.8c^2}=4ac$
$2(b^2+c^2)\geq 2.2\sqrt{b^2c^2}=4bc$
Cộng các BĐT trên theo vế và thu gọn ta được:
$a^2+10(b^2+c^2)\geq 4(ab+bc+ac)=4$
Ta có đpcm.
TD
1
3 tháng 4 2023
Sửa đề: 1+a^2;1+b^2;1+c^2
\(\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+c+ac}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)
\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}\right)\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\)
=>\(A< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{3}{2}\)
ÁP DỤNG BĐT BUNHIA TA CÓ:
\(\left(a^2+1+1+1\right)\left(1+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2+1\right)\ge\left(1.a+\frac{b+c}{2}.1+\frac{b+c}{2}.1+1.1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^2+3\right)\left(2+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
MẶT KHÁC ÁP DỤNG BĐT AM-GM TA CÓ:
\(\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)=3b^2+3c^2+b^2c^2+1+8=2b^2+2c^2+\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2c^2+1\right)+8\)
\(\ge2b^2+2c^2+2bc+2bc+8=2\left(b+c\right)^2+8=4\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+2\right)\)
NHƯ VẬY:
\(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+2\right)\left(a^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI a=b=c=1
Ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại trong ba số\(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) tồn tại ít nhất hai số có tích không âm. Không mất tính tổng quát,giả sử rằng \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8=4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+1+c^2\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki suy ra \(VT\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Đúng không ạ???