CMR :
\(x^2+2xy+2y^2+y+\frac{1}{2}>0\) với mọi x , y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NP
2
LH
20 tháng 8 2016
\(x^2+2xy+2y^2+y+\frac{1}{2}\)
\(=x^2+2xy+y^2+y^2+y+\frac{1}{2}\)
\(=\left(x+y\right)^2+y^2+y+\frac{1}{2}\)
Có: \(\left(x+y\right)^2\ge0\)
\(y^2\ge y\ge0\Rightarrow y^2+y\ge0\)
\(\frac{1}{2}>0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+2y^2+y+\frac{1}{2}>0\) với mọi x
20 tháng 8 2016
xét vế trái: \(x^2+2xy+2y^2+y+\frac{1}{2}\) =\(x^2+2xy+y^2+y^2+y+\frac{1}{2}\)
= \(\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+y+\frac{1}{2}\right)\)
= \(\left(x+y\right)^2+\left(y^2+2.\frac{1}{2}.y+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\)
= \(\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
vì \(\left(x+y\right)^2>=0\) và \(\left(y+\frac{1}{2}\right)^2>=0\) => \(\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2>=0\)
mà 1/4 >0 => \(\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)
TT
1
M
29 tháng 10 2018
a. Ta có : \(4x^2-6x+9=4x^2-6x+\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{4}\)
\(=\left[\left(2x\right)^2-6x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right]+\dfrac{27}{4}\)
\(=\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}\)
Vì \(\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
nên \(\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}\ge\dfrac{27}{4}>0\forall x\)
b.Ta có : \(x^2+2y^2-2xy+y+1=\left(x^2+y^2-2xy\right)+\left(y^2+y+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall y\)
nên \(\left(x-y\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}>0\forall x;y\)
TD
1
5 tháng 10 2019
\(x^2+2y^2-2xy+2x-4y+2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2\left(x-y\right)+1+y^2-2y+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right)+1+\left(y-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)
=>................
TP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2019
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\):
\(VT=\sqrt{\frac{x^2+\left(2y\right)^2}{2}}+\sqrt{\frac{\left(\frac{x}{2}-y\right)^2+3\left(\frac{x}{2}+y\right)^2}{3}}\)
\(VT\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{4}}+\sqrt{\frac{3\left(\frac{x}{2}+y\right)^2}{3}}\)
\(VT\ge\left|\frac{x+2y}{2}\right|+\left|\frac{x+2y}{2}\right|=\left|x+2y\right|\ge x+2y\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2y\ge0\)
AN
1
22 tháng 6 2022
\(A=2xy^2\cdot\dfrac{1}{2}x^2y^2x=x^4y^4>0\)(Vì x,y khác 0)
\(x^2+2xy+2y^2+y+\frac{1}{2}\)
\(=x^2+2xy+y^2+y^2+y+\frac{1}{2}\)
\(=\left(x+y\right)^2+y^2+y+\frac{1}{2}\)
Có : \(\left(x+y\right)^2\ge0\)
\(y^2\ge y\ge0\Rightarrow y^2+y\ge0\)
\(\frac{1}{2}>0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+2y^2+y+\frac{1}{2}>0\) với mọi x y
Ta có
\(x^2+2xy+2y^2+y+\frac{1}{2}\)
\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)
Mà \(\begin{cases}\left(x^2+2xy+y^2\right)\ge0\\\left(y^2+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\ge0\\\frac{1}{4}>0\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)