Question

[Văn Quyết]

a;b>0 áp dụng bất đẳng thức 1/a + 1/b >=4/a+b .CMR 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>= 2(1/2a+b+c+1/a+2b+c+1/a+b+2c)
giúp mik vs

Answer 1

[Trần Hữu Tuyển]

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+2b+c}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{2a+b+c}\)

\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+b+2c}\)

\(\Rightarrow2\dfrac{1}{a+b}+2\dfrac{1}{b+c}+2\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{2a+b+c}+\dfrac{4}{a+2b+c}+\dfrac{4}{a+b+2c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge2\left(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\right)\left(ĐPCM\right)\)

Answer 2

[Nhók Bướq Bỉnh]

Ta có a,b>0, áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm:
chú ý: MÌNH DÙNG CHỮ v TƯỢNG TRƯNG CHO DẤU CĂN.
ta có : (1/a+1/b)/2>=v(1/a*1/b)
=>1/a + 1/b >= 2*1/v(a*b)
mà v(a*b)<=(a+b)/2
=> 2*1/v(a*b) >= 2*1/((a+b)/2) = 4(a+b)
=>1/a + 1/b >= 4(a+b) (đpcm).
Cmr: 1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c)>=2(1/(2a+b+c) + 1/...
chú ý: MÌNH DÙNG CHỮ v TƯỢNG TRƯNG CHO DẤU CĂN.
ta cũng áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm:
1/(a+b) + 1/(b+c) >=2*1/(v(a+b)*(a+c))
tương tự với 1/(a+b) + 1/(b+c) >= 2*1/(v(a+b)*(b+c))
tương tự với 1/(a+c) + 1/(b+c) >= 2*1/1/(v(a+c)*(b+c))
=>2(1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c))>=2*[1/(v(a+b)*(a+c))+v(a+b)*(b+... (1)
mà v((a+b)*(a+c))<=(a+b+a+c)/2=(2a+b+c)
=>1v(a+b)*(a+c)>=2(2a+b+c)
tương tự ta có 1v(a+b)*(b+c)>=2(2b+a+c)
=> 1/[v(a+b)*(a+c))+v(a+b)*(b+c))+1/(v(a+b)... >=2[1/(2a+b+c) + 1/(2b+a+c) + 1/(2c+a+b)] (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.

tương tự ta có 1v(a+c)*(b+c)>=2(2c+a+b)