Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2\leq (x+y)[(29x+3y)+(29y+3x)]=32(x+y)^2\leq 32.(x^2+y^2)(1+1)=64(x^2+y^2)\leq 64.2=128$
$\Rightarrow P\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=8\sqrt{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
1 32 32 x 29 x + 3 y ≤ 1 4 2 32 x + 29 x + 3 y 2 = 1 8 2 61 x + 3 y
Tương tự
1 32 32 y 29 y + 3 x ≤ 1 8 2 61 y + 3 x
=> P ≤ 4 2 x + y ≤ 4 2 x 2 + 1 2 + y 2 + 1 2 = 8 2
Vậy P min = 8 2 <=> x = y = 1
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\left(2\right)\\\left(y-1\right)^2\ge0\left(3\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\end{cases}\left(\forall x;y\inℝ\right)}}\)
\(\Rightarrow VT_{\left(1\right)}\ge\left(2x+2y+2\right)\left(2x+2y+2\right)\left(x;y\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow VT_{\left(1\right)}\ge4\left(x+y+1\right)^2\)(4)
Đặt \(3x+y+2=a;3y+x+b\Rightarrow a+b=4\left(x+y+1\right)\)
Lại có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a;b\inℝ\right)\left(5\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{16\left(x+y+1\right)^2}{4}\ge\left(3x+y+2\right)\left(3y+x+2\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y+1\right)^2\ge\left(3x+y+2\right)\left(3y+x+2\right)=VP_{\left(1\right)}\left(6\right)\)
Từ (4) và (6) => \(VT_{\left(1\right)}\ge VP_{\left(1\right)}\)
\(\Rightarrow VT_{\left(1\right)}=VP_{\left(1\right)}\)
Dấu '=' xảy ra đồng thời ở (2), (3), (5)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\3x+y+2=3y+x+2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)
Bài 2:
Gọi số ban đầu là \(\overline{ab}\)
Theo đề, ta có: 5a+2b=29 và 10b+a-10a-b=36
=>5a+2b=29 và -9a+9b=36
=>a=3 và b=7
\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2m-1\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-2y=4m-2\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-2y+x+2y=4m-2+3m+2\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\m+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\2y=2m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\y=m+1\end{matrix}\right.\)
\(x^2+y^2+3\\ =m^2+\left(m+1\right)^2+3\\ =m^2+m^2+2m+1+3\\ =2m^2+2m+4\\ =2\left(m^2+m+2\right)\)
\(=2\left(m^2+m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}\right)\)
\(=2\left[\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\right]\)
\(=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{2}\ge\dfrac{7}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)
Vậy ...
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge\dfrac{16}{3x+3y+2z}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{3x+2y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\right)\\ \Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{3x+2y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\right)=\dfrac{4}{16}\cdot6=\dfrac{3}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
4:
x+3y=4m+4 và 2x+y=3m+3
=>2x+6y=8m+8 và 2x+y=3m+3
=>5y=5m+5 và x+3y=4m+4
=>y=m+1 và x=4m+4-3m-3=m+1
x+y=4
=>m+1+m+1=4
=>2m+2=4
=>2m=2
=>m=1
3:
x+2y=3m+2 và 2x+y=3m+2
=>2x+4y=6m+4 và 2x+y=3m+2
=>3y=3m+2 và x+2y=3m+2
=>y=m+2/3 và x=3m+2-2m-4/3=m+2/3